Математический анализ

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Кафедра математики (Нижний Новгород)

Где читается: Факультет экономики НИУ ВШЭ (Нижний Новгород)

Когда читается: 1-й курс, 1-3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Бляхман Людмила Григорьевна, Громов Евгений Михайлович

Язык: русский

Кредиты: 9

Контактные часы: 104

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются овладение основами математического анализа, приобретение навыков использования универсального понятийного аппарата и широкого арсенала технических приемов этих дисциплин при дальнейшем изучении профильных дисциплин, построении математических моделей различных экономических закономерностей и процессов, описании динамики социально–экономических систем и прогнозировании развития экономики. Достижение этих целей обеспечивает выпускнику получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования и обладание перечисленными ниже общими и предметно-специализированными компетенциями. Они способствуют его социальной мобильности, устойчивости на рынке труда и успешной работе в самых разнообразных сферах (стратегическое планирование, аналитическая поддержка процессов принятия решений для управления предприятием и проч.). По дисциплине предусмотрены текущий контроль в форме письменных контрольных работ и итоговый контроль в форме экзамена. Итоговая оценка по дисциплине (оценка по промежуточной аттестации) выставляется с учетом результатов как текущего, так и итогового контроля. Правила выставления оценки по промежуточной аттестации определены Программой дисциплины, размещенной в открытом доступе на корпоративном сайте (портале) НИУ ВШЭ.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются овладение основами математического анализа, приобретение навыков использования универсального понятийного аппарата и широкого арсенала технических приемов этих дисциплин при дальнейшем изучении профильных дисциплин, построении математических моделей различных экономических закономерностей и процессов, описании динамики социально–экономических систем и прогнозировании развития экономики. Достижение этих целей обеспечивает выпускнику получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования и обладание перечисленными ниже общими и предметно-специализированными компетенциями. Они способствуют его социальной мобильности, устойчивости на рынке труда и успешной работе в самых разнообразных сферах (стратегическое планирование, аналитическая поддержка процессов принятия решений для управления предприятием и проч.).

Планируемые результаты обучения

Находит пределы последовательностей, функций
Находит производные и дифференциалы ф-и 1-й переменой. Использует производные в приложениях.
Строит графики ф-ий 1й переменой с использованием пределов и производных.
Находит интегралы ф-ии 1-й переменной. Использует интегралы в приложениях.
Находит производные и дифференциалы ф-и многих переменых. Использует производные в приложениях.
Находит двойные интегралы.
Решает ОДУ 1 и 2 порядков
Проверяет сходимость рядов. Находит область сходимости функциональных рядов.
Корректно описывает комбинацию множеств. Решает задачи комбинаторики и мат. логики.

Содержание учебной дисциплины

Введение в анализ. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции
Определение области математики, изучаемой в рамках курса. Множества. Элементы мат. логики. Кванторы существования и всеобщности. Числовая последовательность (ЧП). Предел ЧП. Бесконечно малые (БМ) и бесконечно большие (ББ) ЧП. Сходящиеся ЧП. Арифметические действия со сходящимися ЧП. Неубывающие, невозрастающие, монотонные, ограниченные ЧП. Число . Предел функции в точке (определения Коши и Гейне). Бесконечный предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. БМ и ББ функции. Сравнение БМ: БМ одного порядка, эквивалентные БМ, БМ более высокого порядка Арифметические действия с пределами функций. 1-й и 2-й замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Применение числовых последовательностей и теории пределов в экономике.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная функции в точке. Операция дифференцирования и ее свойства. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к прямой. Производные элементарных функций. Производная композиции функций (цепное правило). Дифференцирование показательно-степенной, обратной, параметрически заданной, неявной функции. Понятие дифференциала и его связь с понятием производной. Приближенные вычисления с помощью первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Односторонние производные. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Формулы Маклорена для элементарных функций. Вычисление пределов с помощью асимптотических разложений. Экономические приложения дифференциального исчисления.
Исследование графиков функций одной переменной
Понятие локального экстремума функции. Необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия экстремума. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа). Формула Лагранжа конечных приращений. Выпуклость, точки перегиба гладких функций. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке. Схема исследования функций.
Интегральное исчисление функции одной переменной
Неопределенный интеграл (первообразная). Свойства неопределенных интегралов. Табличное интегрирование. Замена переменной в неопределенном интеграле: внесение под знак дифференциала, подстановка. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций (метод неопределенных коэффициентов). Интегрирование простейших классов тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Определенный интеграл Римана и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Площадь криволинейной трапеции. Длина дуги гладкой кривой. Объем тела вращения. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Понятие сходимости и простейшие методы ее исследования. Приложения интегрального исчисления к задачам экономики.
Дифференциальное исчисление функции многих переменных
Последовательность точек в многомерном пространстве. Предел и непрерывность функции многих переменных. Линии (поверхности) уровня. Частные производные. Дифференцирование композиции функций многих переменных. Полная производная сложной функции независимой переменной. Производная неявной функции одной переменной. Частная производная неявной функции 2-х переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков. Необходимые условия локального экстремума функции многих переменных. Достаточные условия локального экстремума функции 2-х переменных. Функции многих переменных в экономике.
Двойные интегралы
Определение и существование двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан. Несобственные двойные интегралы – определение и вычисление.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядков
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) 1-го порядка, понятие общего и частного решения дифференциального уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения 1-го порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнение Бернулли. Понятие ОДУ 2-го порядка, понятие общего и частного решения дифференциального уравнения. Однородные ОДУ. Уравнения с постоянными коэффициентами. Метод характеристического уравнения. Неоднородные ОДУ. Метод вариации произвольных постоянных. Неоднородные ОДУ 2-го порядка со спец. правой частью. Метод неопределенных числовых коэффициентов. Системы второго порядка ОДУ.
Числовые и функциональные ряды
Понятие числового ряда. Знакопостоянные, знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Частичные суммы, сходимость, связь с числовыми последовательностями. Необходимое условие сходимости ряда. Основные свойства сходящихся рядов. Простейшие случаи прямого суммирования рядов по определению. Сходимость знакопостоянных числовых рядов: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Понятие функционального ряда, его сходимости в точке и множества сходимости. Степенные ряды и их свойства. Радиус и интервал сходимости. Использование признаков Даламбера и Коши для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.
Элементы теории множеств. Элементы общей теории алгебраических систем. Комбинаторика. Математическая логика
Понятие о множестве. Операции над множествами. Алгебра множеств. Сравнение бесконечных множеств и их эквивалентность. Счетные множества. Множества континуума. Мощность бесконечных множеств. Алгебра мощностей. Отображения множеств, типы отображений. Бинарные отношения. Операции над бинарными отношениями. Свойства однородных бинарных отношений. Разбиения на классы. Упорядочение множеств. Отображения, сохраняющие порядок. Порядковые типы Понятие алгебры. Свойство бинарных алгебраических операций. Гомоморфизмы и изоморфизмы. Полугруппы, группы. Фактор группы. Гомоморфизмы групп. Кольца и поля. Алгебраические системы, решетки. Перестановки при различных спецификациях элементов. Сочетания при различных спецификациях элементов. Производящие функции для сочетаний. Производящие функции для перестановок. Размещения и занятость. Циклы перестановок. Принцип включений и исключений. Понятие о логической функции. Элементарные логические функции. Алгебра логических функций. Алгебр логики и алгебра множеств. Переход от таблицы к аналитическому представлению логической функции. Основные классы логических функций. Полные системы логических функций. Минимизация логических функций. Метод неопределенных коэффициентов. Метод Квайна – Мак-Класки. Понятие о предикатах

Элементы контроля

контрольная 1
Контрольная 2
контрольная 3
экзамен
Экзамен проводится в письменной форме с использованием асинхронного прокторинга. Экзамен проводится на платформе Moodle (https://et.hse.ru/), прокторинг на платформе Экзамус (https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. На платформе Экзамус доступно тестирование системы. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.25 * контрольная 1 + 0.25 * Контрольная 2 + 0.25 * контрольная 3 + 0.25 * экзамен

Программа дисциплины