Геометрия

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Математика)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Кафедра фундаментальной математики

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 1-й курс, 1-3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Гуревич Елена Яковлевна, Круглов Владислав Евгеньевич

Язык: русский

Кредиты: 9

Контактные часы: 104

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс «Аналитическая геометрия» посвящён применению аналитических методов для решения геометрических задач. В процессе обучения студенты получают навыки векторной алгебры, изучают уравнения прямой, плоскости, кривых второго порядка, поверхностей в пространстве, элементы проективной геометрии.

Цель освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины «Аналитическая геометрия» является, прежде всего, освоение приемов решения геометрических задач с помощью аналитических методов. Эта дисциплина, будучи фактически завершённым разделом математики, даёт необходимые средства для изучения и понимания многих других математических дисциплин, в том числе математического анализа, а также способствует формированию общего взгляда на математику и на баланс различных подходов к математическим задачам. Кроме того, дисциплина призвана, насколько это возможно, скомпенсировать недостаточность изучения геометрии в школе в настоящее время.

Планируемые результаты обучения

Решение задач на операции с векторами и их применение.
Определение линейной зависимости-независимости данной системы векторов.
Решение задач по теме (взаимное расположение прямых, нахождение уравнений прямых по заданным условиям, и т.п.)
Решение задач по теме "плоскость"
Решение задач по теме "прямая линия в пространстве"
Решение задач с применением пучков и связок.
Решение задач, направленных на освоение теоретического материала по теме
Решение теоретических и вычислительных задач по теме
Задачи на приведение уравнений кривых второй степени к каноническому виду
Задачи на определение типа кривой с помощью инвариантов
Задачи на определение вида поверхности по её уравнению, в том числе – с помощью плоских сечений
Задачи на определение типа поверхности с помощью вычисления инвариантов
Задачи на переход от аффинной системы координат к проективной и обратно.

Содержание учебной дисциплины

Векторная алгебра
Линейные операции над векторами и их свойства. Линейная зависимость векторов. Базис и система координат. Координаты вектора. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное, векторное, смешанное произведения век-торов, их свойства и их вычисления в ортонормированном базисе.
Прямая линия на плоскости
Разные типы уравнения прямой. Типовые задачи о прямых на плоскости (угол между прямыми, расстояние от точки до прямой).
Плоскость
Различные виды уравнения плоскости; расстояние от точки до плоскости.
Прямая линия в пространстве
Различные виды уравнения прямой в пространстве и их связь. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью.
Пучки прямых и плоскостей
Пучки прямых и плоскостей, связки плоскостей.
Замена базиса и системы координат
Матрица перехода. Сдвиг начала координат. Поворот координат. Пересчёт координат точки. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования.
Кривые второй степени
Геометрические определения эллипса, гиперболы, параболы, вывод канонических уравнений. Эксцентриситет, директрисы, фокально-директориальные свойства.
Кривые второй степени (часть 2)
общее уравнение, постановка задачи классификации, теоремы о приведении уравнения кривой к каноническому виду. Аффинная классификация кривых второй степени.
Ортогональные инварианты кривых второй степени
Определение типа кривой по инвариантам. Асимптотические направления, диаметры, центры кривых второй степени.
Уравнение поверхности в пространстве
Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Эллипсоид вращения. Трёхосный эллипсоид. Коническая поверхность. Конус второй степени. Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид. Параболоиды. Прямолинейные образующие.
Аффинные инварианты поверхностей второй степени
Классификация (17 типов) поверхностей второй степени.
Элементы проективной геометрии
Проективная плоскость, проективные координаты, модели проективной плоскости. Проективная классификация кривых второй степени; проективное пространство, проективная классификация поверхностей второй степени.

Элементы контроля

Контрольная работа №1
Контрольная работа №2
Контрольная работа №3
Контрольная работа №4
Экзамен
Экзамен проводится в письменной форме. Экзамен проводится на платформе MS Teams (https://teams.microsoft.com). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут до начала экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка MS Teams Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи менее 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
Аудиторная оценка
Оценка за работу в аудитории
Коллоквиум

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.4 * Коллоквиум + 0.6 * Экзамен

Программа дисциплины