Алгебра

Специалитет 2021/2022

Статус: Курс обязательный (Компьютерная безопасность)

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Анашкин Александр Владимирович, Нестеренко Алексей Юрьевич, Рожков Михаил Иванович, Сорокин Александр Владимирович, Чухно Андрей Борисович

Специальность: 10.05.01. Компьютерная безопасность

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 56

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно-научных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: школьными знаниями и компетенциями, основными понятиями линейной алгебры и теории множеств. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: криптографические методы защиты информации, криптографические протоколы, теоретико-числовые методы в криптографии.

Цель освоения дисциплины

Знакомство с понятиями линейной алгебры как основы значительной части математического аппарата дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории вероятностей, математической статистики и других дисциплин.
Применение соответствующего математического аппарата для формализации, анализа и решения проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности
Освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины;
Решение систем линейных уравнений над полем и кольцом вычетов
Проведение эффективных вычислений в кольцах вычетов и кольцах многочленов
Развитие способности интерпретации формальных алгебраических структур, развитие четкого логического мышления

Планируемые результаты обучения

Знание базовых понятий дисциплины
Знание методов оценки периодов многочленов над конечным полем
Знание методов построения примитивных элементов конечного поля
Знание методов решения линейных и квадратных уравнений над кольцами вычетов
Знание основных определений, понятий и свойств конечных групп, колец и полей
Знание свойств конечных полей и их подполей
Знание строения поля разложения для неприводимого многочлена над конечным полем
Знание условий и методов разложения конечных групп и колец вычетов в прямую сумму
Знание формулировок китайской теоремы об остатках для чисел и многочленов
Навыки использования математического аппарата дисциплины в дальнейшей учебной и профессиональной деятельности
Понимание доказательств ключевых теорем курса
Приобретение опыта вычисления периода многочленов над конечным полем
Приобретение опыта нахождения корней многочленов в конечном поле
Приобретение опыта проведения вычислений в числовых и конечных группах, кольцах вычетов и полях
Умение востанавливать изоморфизм заданного кольца вычетов с прямой суммой колец вычетов
Умение вычислять периоды многочленов над конечным полем
Умение находить число решений (и сами решения) линейных и квадратных уравнений над кольцами вычетов
Умение проводить вычисления в числовых и конечных группах, кольцах вычетов и полях

Содержание учебной дисциплины

Алгебра матриц
Группа, подгруппа, нормальный делитель, факторгруппа. Примеры на основе групп (Z,+), (Zn,+), (Zn*,∙), Sn.
Системы линейных алгебраических уравнений. Линейное пространство Rn
Порядок элемента группы, циклическая группа, описание множества образующих элементов циклической группы (Zn,+).
Линейное пространство Rn
Гомоморфизм групп, ядро гомоморфизма. Примеры на основе групп (Z,+), (Zn,+), (Zn*,∙), Sn.
Определители
Характеры групп
Вещественные евклидовы пространства
Внешнее и внутреннее прямое произведение (сумма) групп. Примеры на основе групп (Z,+), (Zn,+), (Zn*,∙), Sn.
Поле комплексных чисел и кольцо многочленов
Кольцо, подкольцо, идеал, фактор-кольцо. Примеры на основе колец Z, Zn, F[x], F[x]/f(x).
Линейные пространства над полем
Характеристика кольца, делители нуля, обратимые элементы. Примеры на основе колец Z, Zn, F[x], F[x]/f(x).
Линейные отображения и линейные операторы
Гомоморфизм и изоморфизм колец. Примеры на основе колец Z, Zn, F[x], F[x]/f(x).
Комплексные евклидовы пространства
Кольцо многочленов F[x] над полем F
Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах
Кольцо многочленов F[x]/f(x) над полем F по модулю заданного многочлена f(x), критерий отсутствия в данном кольце делителей нуля.
Билинейные и квадратичные формы
Критерий мультипликативной обратимости и методы нахождения обратного элемента для колец Zn и F[x]/f(x)
Неприводимые многочлены
Идеалы колец K{Z, Zn, F[x], F[x]/f(x)}.
Критерий максимальности идеалов J=a∙K
Китайская теорема об остатках для чисел и многочленов.
Условия разложимости кольца K{Zn, F[x]/f(x)} в прямую сумму колец.
Методы решения уравнений
Основные понятия и свойства теории конечных полей.
Описание конечного поля GF(q) как поля разложения многочлена xq-x=0.
Описание подполей конечного поля GF(q).
Алгебраические элементы поля над заданным подполем. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства.
Поле разложения неприводимого многочлена над конечным полем.
Примитивные элементы конечного поля
Функция след и ее свойства
Квадратичные вычеты и невычеты в поле Zp
Символы Лежандра и Якоби, формула Эйлера
Период многочлена над конечным полем. Методы нахождения периода многочлена, многочлены максимального периода.
Методы нахождения корней многочленов над полем Zp.

Элементы контроля

Аудиторная работа
Самостоятельная работа
Контрольная работа
Домашняя работа + защита домашней работы
Зачёт
Экзамен (4 модуль)
Первый этап экзамена проводится в письменной форме по индивидуальным вариантам, которые будут выложены на платформе Google Class в 10-30 . По истечении часа , в течение 10 минут, ответы должны быть загружены в систему. Через час после этого на платформе Zoom пройдет устное обсуждение письменной части экзамена. Очередность подключения , а также идентификатор и пароль конференции будут сообщены после сдачи письменных работ. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. При долговременном нарушении связи ( более одной минуты) студент не может продолжить участие в устном экзамене. Переэкзаменовка будет проведена по той же системе.
Экзамен (2 модуль)
Аудиторная работа
Самостоятельная работа
Контрольная работа
Домашняя работа + защита домашней работы
Зачет
Итоговая аттестация
Промежуточный экзамен
Коллоквиум

Промежуточная аттестация

2020/2021 учебный год 2 модуль
0.2 * Контрольная работа + 0.3 * Домашняя работа + защита домашней работы + 0.5 * Экзамен (2 модуль)
2020/2021 учебный год 4 модуль
0.2 * Контрольная работа + 0.3 * Домашняя работа + защита домашней работы
2021/2022 учебный год 1 модуль
0.5 * Итоговая аттестация + 0.5 * Промежуточный экзамен
2021/2022 учебный год 2 модуль
0.35 * Итоговая аттестация + 0.15 * Коллоквиум + 0.5 * 2021/2022 учебный год 1 модуль

Список литературы

Авторы

Рожков Михаил Иванович
Преснова Анна Павловна
Бусяцкая Ирина Константиновна
Захарьев Иван Юрьевич

Программа дисциплины

Программа дисциплины

Программа дисциплины

Аннотация

Цель освоения дисциплины

Планируемые результаты обучения

Содержание учебной дисциплины

Элементы контроля

Промежуточная аттестация

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

Рекомендуемая дополнительная литература

Авторы