Геометрия

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Бычков Борис Сергеевич, Кириченко Валентина Алексеевна

Язык: русский

Кредиты: 11

Контактные часы: 216

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс посвящён основным понятиям алгебры и геометрии, такими как кольца, поля, группы преобразований, векторные пространства, линейные операторы. Курс является необходимым пререквизитом ко всем математическим курсам второго семестра и выше.

Цель освоения дисциплины

Целями изучения данной дисциплины являются формирование у студентов структурно-алгебраического мышления
Освоение фундаментальных понятий и простейших вычислительных методов современной алгебры
Получение представления об основных структурах, объектах и задачах классической геометрии
Развитие соответствующей геометрической интуиции

Планируемые результаты обучения

Владение основными понятиями абстрактной алгебры
Развитие геометрической интуиции
Владение основными понятиями линейной алгебры
Навыки решения задач линейной алгебры
Владение основными методами абстрактной алгебры
Умение вычислять объёмы и определители
Знакомство с геометрическими аспектами групп преобразовний
Умение вычислять сигнатуру квадратичной формы
Умение находить собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Владение основами проективной геометрии

Содержание учебной дисциплины

Делимость в кольцах
Определения: деление в кольцах, деление с остатком, НОД, неприводимые и простые элементы. Примеры: деление с остатком в кольцах целых, гауссовых целых, многочленов, формальных степенных рядов, кольцо Z[\sqrt5].
Евклидова геометрия (напоминание)
Определения: евклидова плоскость, евклидово пространство, векторы, скалярное и векторное произведение, длина, угол, площадь, объём. Примеры: школьная планиметрия и стереометрия.
Кольца и поля.
Определения: кольцо, поле, матрица, умножение матриц. Примеры: целые числа, числовые поля, комплексные числа, поле из двух элементов, кольцо 2x2 матриц, линейные отображения плоскости, кольцо многочленов над полем. Комплексные числа как преобразования плоскости. Основная теорема алгебры.
Группы преобразований
Определения: группы перестановок, знак перестановки, группы движений плоскости и пространства, группы линейных преобразований. Примеры: группы движений правильных многоугольников и многогранников, полная линейная группа. Действие группы на множестве. Разложение перестановки в произведение непересекающихся циклов.
Векторные пространства
Определения: векторные пространства над полем, подпространства, векторы, линейные комбинации векторов, линейная зависимость. Примеры: координатное пространство, кольцо многочленов над полем, расширение поля, пространства над полем из двух элементов.
Линейные операторы и матрицы
Определения: линейные операторы, матрица линейного оператора. Примеры: линейные отображения плоскости, умножение на многочлен и дифференцирование, умножение на элемент расширения полей. Матрица композиции двух линейных отображений с известными матрицами.
Размерность и базисы
Определения: порождающий набор, базис, размерность. Приведение матрицы к ступечатому виду элементарными преобразованиями строк. Классификация конечномерных векторных пространств. Замена координат.
Подпространства и уравнения
Определения: подпространства, их сумма и пересечение, ядро, образ и ранг линейного оператора. Соотношение между рангом оператора и размерностью его ядра. Решение систем линейных уравнений.
Квадратичные формы в евклидовых пространствах
Определения: квадратичные формы, аффинные квадрики, самосопряжённый оператор, связанный с квадратичной формой в евклидовом пространстве, сигнатура квадратичной формы, положительный и отрицательный индексы инерции. Примеры: коники - эллипсы, параболы, гиперболы. Матрица квадратичной формы и матрица соответствующего ей самосопряжённого оператора совпадают в ортонормированном базисе. Квадратичная форма в евклидовом пространстве приводится к главным осям. Критерий Сильвестра положительной и отрицательной определённости квадратичной формы. Приложения в анализе (экстремумы функции нескольких переменных). Приложения самосопряжённых операторов в физике (бра и кет формализм).
Проективные квадрики
Определения: квадрики, коники, проективная двойственность, полярная двойственность относительно коники, полюс и поляра. Примеры: полярное преобразование плоскости относительно окружности, задача Штейнера о пяти кониках. Теоремы Паскаля и Брианшона как двойственные утверждения.
Алгоритм Евклида для целых чисел
Определения: деление с остатком в кольце целых чисел, НОД, простые числа. Алгоритм Евклида. Доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел. Решето Эратосфена. Основная теорема арифметики. Доказательство иррациональности корня из двух. Решение линейных диофантовых уравнений.
Алгоритм Евклида для многочленов
Определения: деление с остатком в кольце многочленов над полем, НОД, неприводимые многочлены. Алгоритм Евклида. Решето Эратосфена для многочленов. Теорема Безу. Избавление от иррациональности в знаменателе.
Аффинные пространства
Определения: аффинные пространства и подпространства, репер. Примеры: пространство решений неоднородной системы линейных уравнений. Связь понятия репера и понятия базиса. Уравнение гиперплоскости, проходящей через данные точки.
Евклидовы пространства
Билинейные формы, скалярное произведение, длины, углы, расстояния, ортогональное дополнение к подпространству, ортогональный и ортонормированный базисы. Примеры: школьная плоскость, физическое пространство. Теорема Пифагора. Неравенство треугольника. Расстояние от точки до подпространства, угол между вектором и подпространством.
Объёмы и определители
Определения: равносоставленность, ориентированный объём параллелепипеда, определитель квадратной матрицы. Примеры: площадь параллелограмма, явные формулы для определителей порядка 1, 2 и 3. Определитель как объем. Формула разложения определителя по строке.
Проективные преобразования
Определения: проективные преобразования, дробно-линейные преобразование, двойное отношение, полный четырёхсторонник. Примеры: дробно-линейные преобразования прямой, инварианты четвёрки прямых на векторной плоскости. Проективное преобразование n-мерного проективного пространства определяется образами n+2 точек, никакие n+1 из которых не лежат в одной гиперплоскости. Теорема Мёбиуса-фон Штаудта (без доказательства).
Проективные пространства
Определения: проективизация векторного пространства, проективные пространства и подпространства, однородные координаты, аффинные карты, аксиомы абстрактной проективной плоскости. Примеры: законы перспективы, вещественная и комплексная проективная прямая, проективная плоскость, игра Доббль. Две различные прямые на проективной плоскости всегда пересекаются в одной точке. Теорема Паппа.
Жорданова нормальная форма
Определения: спектр оператора, инвариантные подпространства, прямая сумма подпространств, жорданова клетка, минимальный многочлен оператора, собственные и корневые подпространства. Явные формулы для рекуррентных последовательностей. Комплексное пространство с оператором раскладывается в прямую сумму корневых подпространств. Жорданова нормальная форма нильпотентного оператора.
Многочлены от операторов
Определения: диагонализуемые операторы, след оператора, сопряжённые (подобные) матрицы. Матрицы оператора в разных базисах сопряжены. Почти любой оператор над полем комплексных чисел диагонализуем. Теорема Гамильтона-Кэли. Вычисление степени оператора с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.
Диагонализация оператора
Определения: собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен оператора. Связь с физическими задачами и линейными дифференциальными уравнениями. Собственные векторы с попарно различными собственными значениями линейно независимы.
Билинейные и квадратичные формы
Определения: квадратичная форма, поляризация, матрица Грама билинейной формы. Примеры: матрица Грама стандартного скалярного произведения. Метод Лагранжа. Ортогонализация Грама-Шмидта для положительно определённой симметричной билинейной формы. Квадрат объёма параллелепипеда как определитель матрицы Грама. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Формула для расстояния от вектора до подпространства через матрицы Грама. Разложение вектора по ортонормальному базису. Метод наименьших квадратов.
Построения циркулем и линейкой
Определения: построение циркулем и линейкой, построимые комплексные числа, расширения полей, поликвадратичные расширения, степень расширения. Примеры: классические задачи древности, построение правильного пятиугольника. Степень башни расширений полей. Доказательство неразрешимости задач об удвоении куба и трисекции угла.
Изометрии евклидова пространства
Определения: изометрии (движения) евклидова пространства, группы GL_n(R) (полная линейная), SL_n(R) (специальная линейная), O_n(R) (ортогональная), SO_n(R) (специальная ортогональная). Примеры: группа O_2(R), группа поворотов плоскости SO_2(R), группа поворотов трёхмерного пространства SO_3(R). Изометрия является линейным преобразованием. Классификация движений плоскости.

Элементы контроля

Домашние задания (ДЗ)
Контрольная работа (К)
Коллоквиум (Кл)
Экзамен 1 семестр
Экзамен 2 семестр
Листки (Л)

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
40% ДЗ + 20% К + 30% Э + 10% Л
Промежуточная аттестация (4 модуль)
30% ДЗ + 30% Кл + 30% Э + 10% Л

Программа дисциплины