Математический анализ

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Бланк Михаил Львович, Вьюгин Илья Владимирович, Дунин-Барковский Петр Игоревич, Маркарян Никита Суренович, Пенской Алексей Викторович, Скопенков Михаил Борисович, Скрипченко Александра Сергеевна, Такэбэ Такаси, Чепыжов Владимир Викторович, Шилин Иван Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 11

Контактные часы: 252

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс посвящен основам классического математического анализа (вещественные числа, множества вещественных чисел, последовательности и их пределы, функции вещественного переменного, пределы, производные, графики, формула Тейлора, функции нескольких переменных, дифференциалы отображений, числовые, степенные и функциональные ряды, интегралы и приложения интегрального исчисления, теорема о неявной функции и ее приложения, условный экстремум функций многих переменных).

Цель освоения дисциплины

Изучение теоретических основ математического анализа, необходимых для дальнейшего продвижения во всех аналитических дисциплинах в процессе обучения на факультете.
Приобретение необходимых навыков для решения вычислительных задач.

Планируемые результаты обучения

Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить пределы последовательностей.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение использовать признаки сходимости положительных рядов.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знакомство с понятием компактности. Компактность множеств на числовой прямой.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить простейшие пределы функций.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание глобальных свойств функций, непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание свойств монотонных функций и непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
Знание строгого определения и свойств элементарных функций. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
Знание определения производной и дифференциала. Знание теорем о производной сложной функции и о производной обратной функции.
Знание основных теорем дифференциального исчисления: теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Умение использовать их при решении задач.
Умение вычислять производные высших порядков по формуле Лейбница.
Разложение функций по формуле Тейлора, знание стандартных разложений.
Свободное решение задач на нахождение пределов, производных, нахождения экстремумов, монотонности и выпуклости функций.
Умение находить локальные максимумы функций одного переменного.
Построение графиков функций и кривых на плоскости, в том числе заданных параметрически и неявно.
Умение находить первообразные от стандартных функций.
Знание определений (частные производные, градиент, якобиан, производная по направлению) и простейших свойств.
Знание формулировки и доказательства одномерной теоремы о неявной функции.
Исследование числовых и функциональных рядов на сходимость и равномерную сходимость.
Исследование функциональных рядов на сходимость и равномерную сходимость.
Исследование степенных рядов на сходимость и равномерную сходимость. Умение вычислять радиус сходимости.
Знание двух методов суммирования расходящихся рядов: по Абелю и по Пуассону.
Знание условий сходимости двойных рядов и условий возможности перестановки сумм в повторных рядах.
Знание, что такое определенный интеграл и когда он определен. Критерии интегрируемости.
Умение использовать теоремы о среднем для интеграла Римана.
Умение вычислять длину кривой, заданной параметрически.
Умение доказывать сходимость и расходимость несобственных интегралов.
Умение находить интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита.
Умение исследовать интегралы, зависящие от параметров.
Знание определений и простых основных формул. Умение использовать при решении задач.
Знание формулировок теорем о среднем для функций многих переменных и умение их применять при решении задач.
Знать доказательство принципа сжимающих отображений, в том числе его параметрического варианта.
Доказательство теоремы о неявной функции. Теорема об обратном отображении.
Умение разлагать функцию многих переменных по формуле Тейлора.
Умение находить критические точки и локальные экстремумы.
Знание теорем о приведении диффеоморфизма к каноническому виду и о разложении в произведение простейших и их доказательств.
Знание леммы Адамара и леммы Морса.
Знание, что такое поверхность в конечномерном пространстве. Умение находить условный экстремум методом множителей Лагранжа.

Содержание учебной дисциплины

Вещественные числа. Свойства подмножеств $\R$.
Предел последовательности. Подпоследовательности. Фундаментальные последовательности, критерий Коши. Монотонные последовательности.
Числовые ряды. Признаки сходимости рядов с положительными членами.
Компактность и секвенциальная компактность.
Предел функции. Непрерывные функции. Разрывы, классификация точек разрыва. Локальные свойства непрерывных функций.
Глобальные свойства непрерывных функций.
Монотонные функции.
Элементарные функции. Определения и свойства.
Производные. Дифференциал. Производная сложной функции, производная обратной функции.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Производные высших порядков. Формула Лейбница.
Формула Тейлора. Формулы для остаточного члена. Ряд Тейлора.
Выпуклые функции и их свойства.
Локальный экстремум.
Исследование графиков функций.
Неопределённый интеграл.
Функции многих переменных. Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцирование композиции отображений.
Неявная функция простейший случай.
Знакопеременные ряды. Произведение рядов.
Равномерная сходимость. Теорема Дини. Теорема о перестановке ряда и предела.
Степенные ряды.
Суммирование расходящихся рядов.
Двойные ряды. Бесконечные произведения. Формула для разложения синуса.
Интеграл Римана. Критерий интегрируемости Лебега. Интеграл, как функция верхнего предела.
Теоремы о среднем для интеграла Римана.
Длина кривой. Ориентация на гладкой кривой.
Несобственные интегралы.
Задача об интерполяции.
Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Перестановка интегралов, дифференцирование.
Гамма-функция. Бета-функция. Формула Стирлинга.
Дифференцируемость отображений из $\R^{m}$ в $\R^{n}$. Теоремы о среднем (для функций и для отображений).
Принцип сжимающих отображений.
Теорема о неявной функции.
Формула Тейлора для функций многих переменных.
Локальный экстремум. Критические точки.
Диффеоморфизмы. Приведение к каноническому виду, теорема о ранге. Разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
Лемма Морса.
Поверхность, задача об условном экстремуме. Метод множителей Лагранжа.

Элементы контроля

Коллоквиум 1 семестр
Коллоквиум 2 семестр
Экзамен за 1 семестр
Экзамен 2 семестра
листки (1 семестр)
Сданные "лишние" задачи не пропадают, а будут потом учтены при округлении результирующей оценки за семестр.
листки (2 семестр)
Сданные "лишние" задачи не пропадают, а будут потом учтены при округлении результирующей оценки за семестр.
работа на семинарах,

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Оценка за семестр является средневзвешенной оценкой за экзамен (0.25), коллоквиум (0.25), участие в семинарах (0.3) и оценкой за листки (0.2); в скобках указаны веса компонентов. округление оценки за семестр в сторону ближайшего целого числа, n 5 округляется до n+1.
Промежуточная аттестация (4 модуль)
Оценка за семестр является средневзвешенной оценкой за экзамен (0.25), коллоквиум (0.25), участие в семинарах (0.3) и оценкой за листки (0.2); в скобках указаны веса компонентов. округление оценки за семестр в сторону ближайшего целого числа, n 5 округляется до n+1.

Программа дисциплины