Математический анализ

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Статус: Курс обязательный (Физика)

Направление: 03.03.02. Физика

Кто читает: Департамент информатики

Где читается: Санкт-Петербургская школа физико-математических и компьютерных наук

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Мокеев Александр Сергеевич, Ходунов Павел Андреевич, Храбров Александр Игоревич

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 192

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина базовой части профессионального цикла. Целью освоения дисциплины является ознакомление студентов с теоретическими основами таких разделов математического анализа как теория пределов и непрерывных функций, теория дифференциального исчислений функции одной переменной, неопределенное, определенное и несобственное интегрирование, дифференциальное исчисление функций многих переменных. Кроме того, дисциплина нацелена на формирование практических навыков работы с пределами последовательностей и функций, с непрерывными функциями, с производными и дифференциалами функции одной переменной, с неопределенными, определенными и несобственными интегралами, с непрерывными функциями многих переменных, с частными производными и дифференциалами функций многих переменных. В результате освоения дисциплины студент должен: знать:  точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах; в том числе, свободно использовать пределы и производные для анализа функций с последующим построением их графиков;  общие теоремы о необходимых или достаточных условиях безусловного или условного экстремума; уметь:  формулировать и доказывать основные результаты этих разделов;  представлять математические утверждения и их доказательства, проблемы и их решения ясно и точно в терминах, понятных для профессиональной аудитории, как в письменной, так и устной формах. понимать разделы учебной и научной литературы, связанные с применением пределов, непрерывности и дифференцируемости векторных функций, в том числе, с использованием векторно-матричных обозначений; владеть:  навыками решения типовых задач с применением изучаемого теоретического материала; решения математических задач, аналогичных ранее изученным.

Цель освоения дисциплины

формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам математического анализа.
ознакомление студентов с теоретическими основами таких разделов математического анализа как теория пределов и непрерывных функций, теория дифференциального исчислений функции одной переменной, неопределенное, определенное и несобственное интегрирование, дифференциальное исчисление функций многих переменных.
формирование практических навыков работы с пределами последовательностей и функций, с непрерывными функциями, с производными и дифференциалами функции одной переменной, с неопределенными, определенными и несобственными интегралами, с непрерывными функциями многих переменных, с частными производными и дифференциалами функций многих переменных.

Планируемые результаты обучения

Знает множества, отношения. Владеет понятием предела. Знает неравенство Бернулли. Владеет понятием подпоследовательности; необходимого условия сходимости рядов и простейших свойств сходящихся рядов. Производит арифметические действия с непрерывными функциями, теоремы о стабилизации знака и о непрерывности композиции. Владеет понятиями: Теорема Вейерштрасса; Теорема Больцано-Коши; Теоремы о непрерывных образах отрезка и промежутка.
Знает и вычисляет предел lim sin x/x. Знает определение степенной функции и ее свойства; определение и непрерывность логарифма. Знает пределы lim (1+1/x)x и lim (1+x)1/x, lim ln(1+x)/x, lim ((1+x)p-1)/x и lim (ax-1)/x.
Владеет понятием дифференцируемости функции в точке. Знает геометрический и физический смысл производной. Левая и правая производные. Знает и работает с производными. Знает: формулу Тейлора для многочленов; формулы Тейлора с остатком в форме Пеано и в форме Лагранжа; Формулы Тейлора для ex, sin x, cos x, ln(1+x) и (1+x)p. Знает: локальные максимумы и минимумы; необходимое условие экстремума.
Знает: вычисление интеграла ∫0π/.2 sinn x dx. Владеет понятиями:Формула Валлиса; асимптотика наибольшего биномиального коэффициента; Формула Тейлора с остатком в интегральной форме; иррациональность числа π.
Владеет понятиями интегрального исчисления и несобственных интегралов. Знает метрические и нормированные пространства.
Знает: критерий Коши. Владеет понятием группировки членов ряда. Знает критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Знает: признаки Коши и Признак Даламбера и связь между ними. Знает связь между суммами и интегралами. Интегральный признак.
Владеет понятиями абсолютной и условной сходимости. Знает теоремы Мертенса и Абеля о произведении рядов. Знает критерии равномерной сходимости. Знает теоремы о перестановке пределов и перестановке предела и суммы; теоремы об интегрировании и дифференцировании равномерно сходящейся последовательности (ряда). Знает: дифференцируемость отображений из Rn в Rm; Матрицу Якоби; дифференцируемость координатных функций.

Содержание учебной дисциплины

Последовательности вещественных чисел. Пределы и непрерывность функций
Множества, отношения. Предел последовательности. Неравенство Бернулли. Подпоследовательности. Различные определения предела функций в точке и их равносильность. Различные определения непрерывных функций, их равносильность. Теорема Вейерштрасса.
Последовательности вещественных чисел. Пределы и непрерывность функций
Предел lim sin x/x. Определение степенной функции и ее свойства. Определение и непрерывность логарифма. Пределы lim (1+1/x)x и lim (1+x)1/x, lim ln(1+x)/x, lim ((1+x)p-1)/x и lim (ax-1)/x. Сравнение функций: отношение эквивалентности, символы Ландау.
Дифференциальное и интегральное исчисление
Определение производной и дифференцируемости функции в точке. Теоремы Ферма и Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора для многочленов. Локальные максимумы и минимумы. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение и простейшие свойства площади. Примеры площадей. Положительная и отрицательная части функции и их свойства. Подграфик функции. Определенный интеграл.
Дифференциальное и интегральное исчисление
Определение и простейшие совйства. Аддитивность и монотонность интеграла. Среднее значение функции. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница. Линейность интеграла и формула интегрирования по частям. Замена переменной в определенном интеграле. Вычисление интеграла ∫0π/.2 sinn x dx. Формула Валлиса. Асимптотика наибольшего биномиального коэффициента. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме. Иррациональность числа π.
Приложение интегрального исчисления и несобственные интегралы. Метрические и нормированные пространства.
Равномерная непрерывность функций. Интеграл как предел интегральных сумм. Интегрируемость по Риману. Формула Эйлера-Маклорена для второй производной. Формула Стирлинга. Свойства несобственных интегралов. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признаки Абеля и Дирихле. Интеграл от произведения монотонной и периодической функций. Шары в метрических пространствах. Внутренние точки и внутренность множества. Замыкание множества, связь со внутренностью. Скалярное произведение и норма. Неравенство Коши--Буняковского. Арифметические свойства пределов последовательности векторов. Компактность в пространстве и в подпространстве. Пересечение семейства компактов и вложенных компактов. Секвенциальная компактность. Связь с компактностью. Теорема о характеристике компактов в Rd. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Определения предела по Коши и по Гейне. Критерий Коши. Непрерывные отображения. Непрерывность композиции. Характеристика непрерывности в терминах прообразов. Непрерывный образ компакта. Теорема Вейерштрасса. Непрерывность обратного отображения. Равномерная непрерывность отображений. Теорема Кантора для отображений метрических пространств. Эквивалентные нормы. Эквивалентность норм в Rd. Линейные операторы. Норма линейного оператора. Свойства, эквивалентные ограниченности линейного оператора. Ограниченность линейных операторов из Rn в Rm. Оценка нормы через сумму квадратов. Путь, носитель пути, простой путь, гладкий путь. Эквивалентные пути. Определение кривой. Длина пути и длина кривой. Определение и простейшие свойства. Аддитивность длины кривой.
Числовые и функциональные ряды. Функции нескольких переменных
Критерий Коши. Группировка членов ряда.
Числовые и функциональные ряды. Функции нескольких переменных
Абсолютная и условная сходимости. Теорема Коши. Произведение рядов. Теоремы Мертенса и Абеля о произведении рядов. Теорема Стокса-Зайделя. Поточечная и равномерная сходимость рядов. Критерий Коши. Необходимое условие равномерной сходимости ряда. Степенные ряды. Радиус и круг сходимости. Формула Коши-Адамара. Равномерная сходимость степенного ряда. Комплексная дифференцируемость. Формула для коэффициентов разложения в ряд аналитической функции. Ряды Тейлора для функций ln(1+x), arctg x, (1+x)p и arcsin x. Дифференцируемость отображений из Rn в Rm. Матрица Якоби. Градиент. Частные производные. Линейность диференциала. Дифференциал композиции. Дифференцируемость произведения функций. Теорема Лагранжа для векторнозначных функций. Теорема о перестановке частных производных. Мультииндексы. Многомерная формула Тейлора (с остатками в форме Лагранжа и Пеано). Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения квадратичной формы на сфере. Формула для нормы матриц. Расстояние от точки до гиперплоскости.

Элементы контроля

Домашнее задание №1 (1 модуль)
Домашнее задание №2 (1 модуль)
Письменный экзамен №1
Домашнее задание №3 (2 модуль)
Домашнее задание №4 (2 модуль)
Домашнее задание №5 (3 модуль)
Домашнее задание №6 (3 модуль)
Домашнее задание №7 (4 модуль)
Домашнее задание №8 (4 модуль)
Письменный экзамен №2

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (1 модуль)
0.5 * Домашнее задание №1 (1 модуль) + 0.5 * Домашнее задание №2 (1 модуль)
Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.25 * Домашнее задание №3 (2 модуль) + 0.25 * Домашнее задание №4 (2 модуль) + 0.5 * Письменный экзамен №1
Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.5 * Домашнее задание №5 (3 модуль) + 0.5 * Домашнее задание №6 (3 модуль)
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.25 * Домашнее задание №7 (4 модуль) + 0.25 * Домашнее задание №8 (4 модуль) + 0.5 * Письменный экзамен №2

Программа дисциплины