Алгебра

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Кафедра фундаментальной математики

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 1-й курс, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для всех

Преподаватели: Борисов Иван Михайлович, Полотовский Григорий Михайлович

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 40

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Курс знакомит студентов с базовыми понятиями современной алгебры: группами, кольцами, полями, векторными пространствами. Особое внимание уделено приложениям. В частности, рассматриваются применения алгебры в топологическом анализе компьютерных моделей.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Алгебра» являются формирование и развитие у студентов структурно-алгебраического мышления и умения видеть общие алгебраические конструкции в различных областях математики, знакомство с базисными алгебраическими структурами – группами, коммутативными кольцами и полями, векторными пространствами, с их гомоморфизмами, а также примерами и приложениями.

Планируемые результаты обучения

Знание основных понятий теории групп. Умение проверять выполнение аксиом группы, находить ядро и образ гомоморфизма, образующие элементы и факторгруппы.
Знание основных понятий теории колец, полей и векторных пространств. Умение проверять выполнение соответствующих аксиом на конкретных примерах.
Знание некоторых алгоритмов вычисления базисов групп гомологий и их приложений.

Содержание учебной дисциплины

Группы
Основные определения теории групп. Базовые примеры. Ядро и образ гомоморфизма. Аддитивная группа целых чисел. Группы вычетов. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальная подгруппа. Факторгруппа. Образующие элементы. Циклические группы. Конечные и бесконечные циклические группы.
Поля и векторные пространства
Определение кольца и поля. Кольцо вычетов. Векторные пространства. Базовый пример. Базис и размерность векторного пространства.
Примеры и приложения
Симплициальные комплексы и схемы. Полиэдры. Клеточные разбиения. Группы цепей, циклов, границ и гомологий по модулю 2. Некоторые геометрические интерпретации. Методы вычисления групп гомологий и их базисов. Приложения в компьютерном моделировании и в численной схеме решения трехмерных задач механики сплошной среды.

Элементы контроля

Контрольная работа
Контрольная работа содержит 2 задачи.
Экзамен
Экзамен проводится в письменной/устной форме (теоретические вопросы и задачи по материалам курса) на платформе MS Teams (https://www.microsoft.com/ru-ru/microsoft-365/microsoft-teams/). К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию экзаменов. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка MS Teams. Для участия в экзамене студент обязан: явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи менее 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение в 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи подразумевает использование задач, аналогичных по сложности экзаменационным задачам.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.4 * Контрольная работа + 0.6 * Экзамен

Программа дисциплины