Алгебра и геометрия

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Бизнес-информатика)

Направление: 38.03.05. Бизнес-информатика

Кто читает: Кафедра математики (Нижний Новгород)

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Беспалов Петр Алексеевич, Кириков Сергей Владимирович, Мизонова Вера Геннадьевна, Шапошников Владимир Евгеньевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 56

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина “Алгебра и геометрия” дает возможность овладеть основами линейной алгебры и приобрести навыки использования ее универсального понятийного аппарата и широкого арсенала технических приемов при построении математических моделей различых экономических закономерностей и процессов, при описании динамики социально–экономических систем прогнозирования развития экономики. Освоение данной дисциплины обеспечит выпускнику получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования и обладание необходимыми общими и предметно-специализированными компетенциями, что, несомненно, будет способствовать его социальной мобильности, устойчивости на рынке труда и успешной работе в избранной сфере деятельности.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины “Алгебра и геометрия” являются овладение основами линейной алгебры, приобретение навыков использования ее универсального понятийного аппарата и широкого арсенала технических приемов при построении математических моделей различых экономических закономерностей и процессов, описании динамики социально–экономических систем прогнозировании развития экономики. Достижение этих целей обеспечивает выпускнику получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования и обладание общими и предметно-специализированными компетенциями. Они способствуют его социальной мобильности, устойчивости на рынке труда и успешной работе в избранной сфере деятельности.

Планируемые результаты обучения

Умеет работать с векторами в трехмерном пространстве
Умеет выполнять простейшие операции с матрицами
Владеет различными методами решения систем линейных уравнений
Умеет анализировать уравнения линий и поверхностей первого и второго порядка в трехмерном пространстве
Знает свойства и определения линейных операторов и линейных пространств, умеет решать задачи.
Знает свойства и определения, умеет решать задачи

Содержание учебной дисциплины

Векторная алгебра
Понятие вектора. Равные вектора. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векто-ров. Базис на плоскости и в пространстве. Декартова прямоугольная система координат. Направляю-щие косинусы вектора. Скалярное произведение двух векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.
Матрицы и определители.
Определение числовых матриц и различные формы их истолкования. Столбцы, строки, главная и побочная диагонали (для квадратных матриц). Сложение матриц и умножение на число, свойства линейных операций. Транспонирование матрицы. Свойства операции транспонирования. Ин-дексные обозначения элементов матриц и операций над ними. Матрицы-столбцы и матрицы-строки. Умножение матриц, правило “строка на столбец”. Символ суммирования ∑ и его свойства. Свойства умножения матриц, взаимные свойства умножения и сложения. Обратная матрица. Элементарные преобразования строк (столбцов) в терминах умножения матриц. Вычис-ление обратной матрицы методом элементарных преобразований строк присоединенной матри-цы. След квадратной матрицы. Ранг матрицы и элементарные преобразования. Миноры произ-вольного порядка. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Определение детерминанта (определителя) квадратной матрицы. Миноры его элементов и их ал-гебраические дополнения. Разложение определителя по произвольной строке (столбцу). Свойства определителей. Вычисление определителей путем накопления нулей в строке (столбце). Детер минант как индикатор линейной зависимости системы своих столбцов (строк). Функциональная точка зрения на определитель.
Системы линейных уравнений.
Развернутая и матричная формы записи системы линейных уравнений. Равносильные преобразо-вания системы и соответствующие им элементарные преобразования строк расширенной матрицы. Условие совместности линейной системы (теорема Кронеккера-Капелли). Нахождение решений методом Гаусса-Жордана. Приведенная система. Множество решений однородной системы. Фун-даментальная матрица и фундаментальная система решений приведенной системы. Структура об-щего решения произвольной системы линейных уравнений, матричная форма его записи. Метод Крамера решения невырожденных квадратных линейных систем.
Элементы аналитической геометрии.
Общие уравнения плоскости в пространстве и прямой на плоскости. Параметрические и канониче-ские уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом на плоскости. Общие урав-нения прямой в пространстве. Угол между плоскостями и между прямыми. Расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости. Канонические уравнения кривых второго порядка (эллипс, ги-пербола, парабола).
Линейные пространства и линейные операторы.
Определение линейного (векторного) пространства. Простейшие следствия и аксиом линейного пространства. Линейная зависимость векторов пространства. Базис и замена базиса. Линейные подпространства – определение и примеры. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сум-ма подпространств. Вычисление подпространств. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе Определение линейного отображения линейных пространств. Преобразование линейного пространства. Координатная запись линейных преоб-разований. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса. Сумма и произ-ведение линейных отображений. Изоморфизм линейных пространств. Инвариантные подпро-странства. Задача о собственных векторах линейного преобразования. Собственные числа, спектр линейного оператора. Характеристическое уравнение и его инвариантность относитель-но замены базиса. Свойства собственных векторов и собственных значений. Диагональный вид матрицы преобразования. Линейные операторы простой структуры. Критерий диагонализируе-мости матрицы линейного оператора.
Квадратичные формы.
Линейные числовые функции (функционалы, формы) на линейных пространствах. Билинейные квадратичные формы. Ранг и индекс квадратичной формы. Квадратичные формы и скалярное произведение. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра (формулировка).

Элементы контроля

контрольная работа
контрольная работа
экзамен
"Экзамен проводится в письменной форме с использованием асинхронного прокторинга. Экзамен проводится на платформе LMS (https://lms.hse.ru), прокторинг на платформе Экзамус (https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. На платформе Экзамус доступно тестирование системы. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи."
аудиторная активность
Устный опрос, работа у доски, разбор домашних заданий

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.1 * аудиторная активность + 0.2 * контрольная работа + 0.2 * контрольная работа + 0.5 * экзамен

Программа дисциплины