Математический анализ 1

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Кафедра прикладной математики и информатики (Нижний Новгород)

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Чистякова Светлана Александровна, Чистяков Вячеслав Васильевич

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 152

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Курс математического анализа включает в себя теорию вещественных чисел, теорию пределов, теорию непрерывности функций, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной и их приложения, дифференциальное исчисление функций многих переменных и теорию числовых и функциональных рядов.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются углубленное изучение основных понятий математического анализа (предельный переход, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), овладение методами математического анализа функций одной и нескольких вещественных переменных (построение графиков, нахождение локальных и глобальных экстремумов функций), применение полученных знаний к анализу различных математических моделей экономических явлений и решению бизнес-задач

Планируемые результаты обучения

Студент должен продемонстрировать хороший уровень знаний основных определений, теорем, методов, доказательств некоторых теоретических положений курса. При решении практической задачи студент должен показать умение анализировать и применять теоретические факты к решению конкретной задачи и продемонстрировать навыки решения данного класса задач.

Содержание учебной дисциплины

1. Введение в анализ. Элементы теории множеств и функций
Понятие множества. Операции над множествами. Понятие отображения (функции), области определения и множества значений. Обратная функция. Композиция функций (сложная функция). График функции. Элементарные функции: классификация, простейшие свойства, графики.
2. Предел последовательности.
Определение числовые последовательности. Примеры. Понятие предела последова-тельности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Достаточное условие отсутствие предела последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. Лемма о конвоирующих. Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей. Определение числа е. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь со сходящимися последовательностями. Арифметические свойства бесконечно малых и сходящихся последовательностей. Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и бесконечные пределы. Неопределенные выражения, методы раскрытия неопределенностей.
3. Предел функции.
Определение предела функции в точке по Коши (в терминах окрестностей и нера-венств) и по Гейне (в терминах последовательностей). Теорема об эквивалентности этих оп-ределений. Пределы функции в бесконечности. Арифметические свойства функций, имею-щих пределы (конечные или бесконечные) в точке или в бесконечности. Односторонние пределы. Достаточное условие отсутствие предела в точке. Неопределенные выражения. Теорема о пределе сложной функции. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций, о-символика. Эквивалентность бесконечно малых.
4. Непрерывные функции.
Определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о локальной ограниченности функции, непрерывной в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, первая и вторая теоремы Больцано-Коши). Теорема о непрерывности монотонной функции на промежутке. Критерий существования и непрерывности обратной функции на промежутке. Точки разрыва, их классификация.
5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Понятие производной функции в точке. Геометрический смысл производной. Урав-нение касательной и нормали к графику функции в точке. Правила дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной сложной функции. Теорема о дифференци-руемости и производной обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производные функций, заданных параметрически. Производная неявно заданной функции. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное ус-ловие дифференцируемости. Понятие первого дифференциала функции в точке. Геометри-ческий смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производ-ные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке. Экстремумы функции одной переменной. Локальный и глобальный экстремум. Необходимое и достаточ-ное условия для внутреннего локального экстремума. Основные теоремы о дифференцируе-мых функций на отрезке (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя-Бернулли. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке. Достаточные условия локального экстремума для функции одной переменной. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости (вогнутости). Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия для точки перегиба. Асимптоты графика функции одной переменной. Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций од-ной переменной с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Тейлора-Маклорена для основных элементарных функций.
6. Интегральное исчисление функций одной переменной.
Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции, определенной на промежутке. Замена переменных и формула интегрирования по частям. Таблица интегралов элементарных функций. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений (сведение в интегрированию рациональных функций). Интегрирование иррациональных выражений. Понятие интегральной суммы для функции, заданной на отрезке, и определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Основные свойства определенного интеграла: интеграл единицы, линейность, интегрируемость произведения интегрируемых функций, аддитивность, интегрируемость на подотрезках, свойства, выражаемые неравенствами, теоремы о среднем, интегрируемость модуля интегрируемой функции. Интеграл с переменным верхним пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг плоских кривых. Понятие несобственных интегралов первого и второго рода. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Понятия абсолютной и условной сходимости несобственного интеграла. Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для несобственных интегралов от положительных функций. Эталонные интегралы. Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла первого рода.
8. Числовые и функциональные ряды.
Понятие числового ряда, сходящегося ряда, суммы ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости ряда. Знако-положительные числовые ряды. Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эта-лонные положительные ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Функциональные последовательности и ряды. Степенной ряд. Радиус сходимости степенно-го ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Теорема о единственности представления. Ряд Тейлора функции. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора для заданной функции к заданной функции. Ряды Тейлора-Маклорена основных элементарных функций.
7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Понятие метрического и нормированного пространств, окрестностей точки, предель-ных и внутренних точек, открытых и замкнутых множеств. Понятие n-мерного евклидова пространства и метрики в нем. Неравенство треугольника. Сферические и прямоугольные окрестности точки. Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые, открытые, компактные множества. Понятие функции многих переменных. Определение предела функции многих переменных. Арифметические свойства пределов. Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность элементарных функций многих переменных. Теоремы Вейерштрасса. Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Определение частных производных функции многих переменных в точке. Определение дифференцируемости функции в точке. Первое и второе необходимые условия дифференцируемости функции в точке. Достаточное условие диффе-ренцируемости функции в точке. Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Уравнение касательной плоскости и нормали к графику функции двух переменных в точке. Понятие первого дифференциала функции многих переменных в точке. Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных. Экстремумы функций многих переменных: абсолютный и условный; локальный и глобальный. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума в терминах второго дифференциала.

Элементы контроля

контрольная работа
Домашнее задание
Промежуточный экзамен
Итоговый экзамен
Экзамен проводится в письменной форме с использованием асинхронного прокторинга. Экзамен проводится на платформе Zoom (https://zoom.us), прокторинг на платформе Экзамус (https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. На платформе Экзамус доступно тестирование системы. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Накопленная оценка за текущий контроль в 1и 2 модулях учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом: Онакопленная1 = ( Окр1+Оаудиторнная )/2, где Окр1 - оценка за контрольную работу 1, Оаудиторнная - оценка за работу на семинарских занятиях (оценивается правильность решения задач и активность студента). Результирующая оценка за промежуточный контроль в форме экзамена в конце 2 модуля выставляется по следующей формуле: Опромежуточный = 0,6·Оэкзамен +0,4·Онакопленная1 , где Оэкзамен – оценка за письменную экзаменационную работу.
Промежуточная аттестация (4 модуль)
Накопленная оценка за текущий контроль в 3 и 4 модулях учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом: Онакопл2 = (Окр2+ ОДЗ + Оаудиторнная)/3, где Окр2 - оценка за контрольную работу 2, Оаудиторнная - оценка за работу на семинарских занятиях (оценивается правильность решения задач и активность студента), ОДЗ- оценка за домашнее задание. Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом: ОРезульт Итог = 0,4·ОНакопл2 + 0,6·ОИтог экзамен, где ОИтог экзамен – оценка за итоговую экзаменационную письменную работу.

Программа дисциплины