2022/2023
Начала функционального анализа и оптимизация
Статус:
Майнор
Кто читает:
Департамент математики
Где читается:
Факультет экономических наук
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
80
Программа дисциплины
Аннотация
Почти три тысячи лет назад принцесса из Тира, Дидона обманула царя максиев – купила землю, которая уместится в шкуре быка, а затем из этой шкуры сделали тонкий ремешок и обтянули заметный кусок берега, на котором потом построили Карфаген. Но, помимо исторических последствий содеянного, осталась задача: какую форму нужно придать ремешку заданной длины, чтобы окружить наибольшую площадь. Ответ: если берег моря ровный, то это полуокружность. Настолько большого радиуса, насколько позволит длина ремешка. А как это доказать? А если берег моря не ровный? А если качество (и продажная стоимость) земли не постоянны? Какая тогда должна быть форма области внутри ремешка? Во многих случаях оптимизацию проводит не человек, а сама природа. Тяжелая цепь заданной длины, подвешенная за концы, выбирает форму, минимизирующую потенциальную энергию, луч, идущий в оптически неоднородной среде из точки А в точку Б, минимизирует не пройденный путь, а потраченное на путь время (в неоднородной среде это не одно и то же). Отсюда следуют законы Снеллиуса преломления луча при переходе через границу сред. Из-за рефракции можно видеть миражи. И Солнце, спустя целую минуту после его фактического захода за линию горизонта. В курсе мы обсудим, когда разгонять поезд, а когда тормозить, чтобы прибыть на следующую станцию как можно быстрее. Или как наилучшим образом согласовать полученную из GPS и спидометра информацию о движении автомобиля. Ведь они не абсолютно согласованы между собой - каждый измерительный прибор имеет свою ошибку измерения. Таким образом, вместо минимума функций одного или нескольких переменных, о поисках которого шла речь в первом курсе майнора, здесь в качестве аргумента минимизируемого функционала рассматриваются, функции, кривые, стратегии, поверхности и т.п. бесконечномерные объекты. Во многих случаях такую проблему минимизации удается свести к решению краевой задачи для дифференциального уравнения или системы. Будут рассматриваться как аналитические методы решения, так и численные алгоритмы. Например, варианты метода градиентного спуска.
Цель освоения дисциплины
- Показать на многочисленных примерах из различных областей науки, техники, экономики эффективность математических моделей, основанных идеях оптимизации функций, кривых, поверхностей и т.п. Слушатели майнора должны будут на примерах познакомиться с идеями построения моделей (вывод минимизируемого функционала – критерия качества - и ограничений, интегральных или дифференциальных, для искомого решения, а также граничных условий) и изучить математическую теорию, позволяющую качественно и количественно исследовать решения соответствующих задач. Будут рассмотрены различные дискретные аппроксимации функционалов, позволяющие использовать компьютеры для приближенного решения этих задач. Будем изучать методы оценки точности и вычислительной трудоемкости этих алгоритмов. Нужно будет написать машинные коды для реализации этих алгоритмов. Речь идет как о работе со стандартными пакетами программ, так и об их самостоятельном написании. Анализ результатов будет сопровождаться построением различных визуализаций. Будет существенно использован материал всех курсов майнора. Предполагается, что задачи такого рода будут возникать в будущей профессиональной деятельности слушателя. Если у него такая модель уже имеется на примете, то возможно написание курсовой работы, а впоследствии - ВКР.
Планируемые результаты обучения
- Умеет находить условные стационарные решения задач на условный экстремум интегральных функционалов при наличии интегральных или дифференциальных связей. Умеет строить модели согласования измеренной информации нескольких параметров и известных дифференциальных соотношений между ними.
- Умеет построить алгоритм определения сопряженной точки и программно реализовать его
- Умеет разработать итерационный алгоритм минимизации и программно его реализовать
- Умеет разработать итерационный алгоритм наилучшей аппроксимации функции в пространстве многочленов степени не выше данной и среди рациональных функций с ограничениями степеней числителя и знаменателя, а также программно реализовать его.
- Умеет решать простейшие дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных) в пространстве обобщенных функций.
- Умеет составить интегральное уравнение для соответствующей физической задачи. Умеет численно определять первые собственные функции интегрального оператора. Умеет численно определять функцию Грина краевой задачи – интегральный оператор Фредгольма.
- Умеет составлять и решать простейшие уравнения (и системы) Эйлера для интегральных функционалов. Умеет строить граничные условия трансверсальности для этих функционалов и условия Вейерштрасса – Эрдмана в случае разрывных коэффициентов.
- Умеет строить гамильтониан для простейших задач и определять оптимальное кусочно-гладкое решение.
- Умеет строить итерационные алгоритмы для сжимающих отображений.
- Умеет строить лагранжианы для основных недиссипативных моделей и получать соответствующие законы эволюции.
Содержание учебной дисциплины
- Функционалы и операторы.
- Интегральные уравнения Фредгольма
- Теория обобщенных функций
- Гладкие функционалы
- Вторая вариация
- Принцип наименьшего действия
- Задачи на условный экстремум
- Принцип максимума Понтрягина
- Минимакс
- Численные методы минимизации функционалов
Элементы контроля
- Домашняя работаРешение задач включает аналитические построение, написание и отладку кода и анализ полученных результатов
- Контрольная работаКонтрольная включает теоретические вопросы и задачи
- Домашние работыРешение задач включает аналитические построение, написание и отладку кода и анализ полученных результатов
- ЭкзаменВключает теоретическую часть и решение задачи на компьютере.
Промежуточная аттестация
- 2022/2023 учебный год 4 модуль0.4 * Экзамен + 0.2 * Контрольная работа + 0.2 * Домашняя работа + 0.2 * Домашние работы
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Агранович, М. С. Обобщенные функции : учебное пособие / М. С. Агранович. — Москва : МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-402-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9275 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Агранович, М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей / М. С. Агранович. — Москва : МЦНМО, 2013. — 379 с. — ISBN 978-5-4439-2068-9. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56385 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Алексеев, В. М. Оптимальное управление : учебно-методическое пособие / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. — 2-е изд. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 384 с. — ISBN 5-9221-0589-2. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/48177 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Алексеев, В. М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи : учебное пособие / В. М. Алексеев, Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2011. — 256 с. — ISBN 978-5-9221-0590-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/2097 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Арнольд, В. И. Топологические методы в гидродинамике : монография / В. И. Арнольд, Б. А. Хесин. — Москва : МЦНМО, 2007. — 392 с. — ISBN 978-5-94057-312-8. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9291 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Васильева А.Б., Тихонов Н.А. - Интегральные уравнения - Издательство "Лань" - 2009 - 160с. - ISBN: 978-5-8114-0911-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/42
- Гордин, В. А. Как это посчитать? : учебное пособие / В. А. Гордин. — Москва : МЦНМО, 2005. — 280 с. — ISBN 5-94057-179-4. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9327 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Гордин, В. А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики : учебное пособие / В. А. Гордин. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 736 с. — ISBN 978-5-9221-1130-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/59516 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Гюнтер Н.М. - Курс вариационного исчисления - Издательство "Лань" - 2009 - 320с. - ISBN: 978-5-8114-0893-1 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/119
- Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. - Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения - Издательство "Лань" - 2010 - 400с. - ISBN: 978-5-8114-0799-6 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/537
- Динамическое программирование и уравнения в частных производных, Беллман, Р., 1974
- Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах : учебное пособие / А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев, Н. А. Тихонов, Т. А. Уразгильдина. — 2-е изд. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 432 с. — ISBN 5-9221-0628-7. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/59405 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Интегральные преобразования обобщенных функций, Земанян, А. Г., 1974
- Интегральные уравнения : введение в теорию: учеб. пособие для вузов, Краснов, М. Л., 1975
- Интегральные уравнения, Трикоми, Ф., 1960
- Краткий курс теории экстремальных задач, Галеев, Э. М., 1989
- Курс вариационного исчисления : учебник для гос. ун-тов, Лаврентьев, М. А., 1938
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика. В 10 т. Т. I. Механика - Издательство "Физматлит" - 2007 - ISBN: 978-5-9221-0819-5 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2231
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика. Т.2. Теория поля - Издательство "Физматлит" - 2006 - ISBN: 5-9221-0056-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2236
- Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : учебное пособие / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 5-е изд., стер. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, [б. г.]. — Том 7 : Теория упругости — 2007. — 264 с. — ISBN 978-5-9221-0122-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/2233 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Янг, Л., 1974
- Лекции по теории аппроксимации, Ахиезер, Н. И., 1965
- Лекции по теории интегральных уравнений : учебник, Петровский, И. Г., 1965
- Люстерник Л.А., Соболев В.И. - Краткий курс функционального анализа - Издательство "Лань" - 2009 - 272с. - ISBN: 978-5-8114-0976-1 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/245
- Математические методы для физических наук, Шварц, Л., 1965
- Математические методы классической механики : учеб. пособие для ун-тов, Арнольд, В. И., 1979
- Обобщенные функции, Агранович, М. С., 2008
- Оптимальное управление : учебник для вузов, Алексеев, В. М., 2005
- Полянин, А. Д. Интегральные уравнения в 2 ч. Часть 1 : справочник для вузов / А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 369 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-02917-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/437089 (дата обращения: 28.08.2023).
- Полянин, А. Д. Интегральные уравнения в 2 ч. Часть 2 : справочник для вузов / А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 238 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-02918-5. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/438584 (дата обращения: 28.08.2023).
- Приближенное решение задач оптимального управления, Федоренко, Р. П., 1978
- Привалов, И. И. Интегральные уравнения : учебник для вузов / И. И. Привалов. — 4-е изд., стер. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 253 с. — (Авторский учебник). — ISBN 978-5-534-01552-2. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/433812 (дата обращения: 28.08.2023).
- Теоретическая физика. Т. 2: Теория поля, Ландау, Л. Д., 2018
- Теоретическая физика. Т.7: Теория упругости, , 2003
- Численные методы : учеб. пособие для вузов, Бахвалов, Н. С., 2002
Рекомендуемая дополнительная литература
- Методы гильбертова пространства, Морен, К., 1965
- Элементы функционального анализа, Люстерник, Л. А., 1965