Бакалавриат
2021/2022![Цель освоения дисциплины](/f/src/global/i/edu/objectives.svg)
![Планируемые результаты обучения](/f/src/global/i/edu/results.svg)
![Содержание учебной дисциплины](/f/src/global/i/edu/sections.svg)
![Элементы контроля](/f/src/global/i/edu/controls.svg)
![Промежуточная аттестация](/f/src/global/i/edu/intermediate_certification.svg)
![Список литературы](/f/src/global/i/edu/library.svg)
Линейная алгебра (углубленный курс)
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Экономика)
Направление:
38.03.01. Экономика
Кто читает:
Департамент математики
Где читается:
Факультет экономических наук
Когда читается:
1-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Преподаватели:
Бурмистрова Елена Борисовна
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Учебная дисциплина «Линейная алгебра» не требует какой бы то ни было предварительной математической подготовки сверх обычной программы средней школы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: 1. Математический анализ 2. Микроэкономика 3. Макроэкономика 4. Теория вероятностей и математическая статистика 5. Эконометрика 6. Дифференциальные и разностные уравнения 7. Методы оптимальных решений В результате изучения дисциплины студент должен знать: точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах; в том числе, свободно использовать координатный, векторный, матричный или операторный способ записи математических соотношений; общие теоремы о структуре множества решений систем линейных, уметь применять специальные методы построения таких решений; свойства основных числовых характеристик матриц: определитель, ранг, размерность пространства строк и столбцов.
Цель освоения дисциплины
- Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем аналитической геометрии и линейной алгебры, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
- Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, насыщенных векторными, матричными и операторными обозначениями
- Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в линейной алгебре конструкции
- Научить слушателей давать геометрическую интерпретацию многомерным объектам и строить аналитическое описание геометрическим соотношениям
- Продемонстрировать возможность бескоординатного описания линейных и квадратичных функций, подготавливая переход к изучению функционального анализа
- Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования
- Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений
Планируемые результаты обучения
- Студент должен понять связь элементов точечного пространства с элементами соответствующего векторного пространства. Связь и различие понятий базиса векторного пространства и системы координат аффинного пространства. Уметь записывать уравнения линейных отображений, знать геометрические свойства таких отображений. Проверять свойства аффинности и изометричности отображения. Понимать свойства проекций на плоскость объектов трехмерного пространства
- Студенты должны знать о взаимно однозначном соответствии симметричных билинейных форм и квадратичных форм, владеть навыком проверки знакоопределенности квадратичных форм с помощью главных миноров её матрицы. Знать закон инерции для квадратичных форм
- Студенты должны знать о сходстве и различии свойств арифметических операций над числами и матрицами. Уметь записывать системы линейных уравнений в матричной форме. Знать критерий существования обратной матрицы, методы вычисления обратных матриц через матрицу алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований. Уметь записывать матрицы перехода
- Студенты должны знать определение линейного оператора, уметь записывать матрицу линейного оператора в конечномерном пространстве, применять преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса
- Студенты должны знать определение собственные векторов и собственных значений линейного оператора, уметь вычислять их с помощью характеристического многочлена линейного оператора. Приводить матрицы линейного оператора к диагональному виду
- Студенты должны знать различные определения ранга матрицы и теорему о равенстве всех таких числовых характеристик матриц. Уметь вычислять ранг матриц непосредственно через миноры матрицы и с помощью элементарных преобразований. Знать критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Свойства ранга и определителя произведения матриц
- Студенты должны знать свойства самосопряженных операторов в евклидовом пространстве, их матриц, собственных векторов и собственных значений. Уметь представлять квадратичные формы в виде скалярного произведения $$\langle \varphi(x), x \rangle$$ с соответствующим самосопряженным оператором. Владеть навыком построения ортонормированного базиса, относительно которого квадратичная форма имеет канонический вид
- Студенты должны освоить линейные элементы аналитической геометрии: свойства уравнений прямых (на плоскости и в пространстве) и уравнений плоскостей. Понимать как эти свойства связаны со свойствами векторов в соответствующих векторных пространствах. Уметь применять критерии параллельности и перпендикулярности прямых или плоскостей
- Студенты должны уметь вычислять определитель разложением по строке или столбцу с учетом упрощения матрицы определителя с помощью элементарных преобразований. Знать приложение определителей для построения по координатам двух точек уравнения прямой, по координатам трех точек уравнения уравнения плоскости.
- Студенты должны уметь вычислять угол между элементами евклидовых пространств. Вычислять ортогональную проекцию вектора на подпространство, строить ортонормированный базис ортогонализацией произвольного базиса. Знать свойства матрицы скалярного произведения в ортонормированном базисе и матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Уметь интерпретировать метод наименьших квадратов как построение ортогональной проекции.
- Студенты должны уметь записывать системы линейных уравнений и описывать множества их решений в векторной форме. Применять ранг матриц системы и расширенной матрицы системы для исследования совместности системы и вычисления размерности пространства решений соответствующей однородной системы. Уметь выделять подходящий ненулевой минор в матрице системы для разделения неизвестных на главные и свободные
- Студенты должны уметь находить размерность и базис конечномерного пространства, координаты вектора относительно заданного базиса.
- Студенты должны уметь применять элементарные преобразования матриц для приведения матриц к ступенчатому виду. Описывать общее решение системы линейных уравнений, давать геометрическую интерпретацию таким системам и множеству их решений
- Студенты должны уметь проверять является ли заданное множество с двумя операциями линейным пространством, исследовать линейную зависимость систем элементов линейного пространства.
Содержание учебной дисциплины
- Преобразования матриц и системы линейных уравнений
- Определитель
- Ранг матрицы
- Линейные операторы
- Линейные пространства
- Алгебра матриц
- Структура множества решений системы линейных уравнений
- Линейные, билинейные и квадратичные формы
- Элементы аналитической геометрии
- Евклидовы пространства
- Самосопряженные операторы
- Аффинные пространства
Элементы контроля
- Домашнее задание №1Отчет о решении задач из домашнего задания присылается студентами преподавателю по электронной почте.
- Домашнее задание №2Отчет о решении задач из домашнего задания присылается студентами преподавателю по электронной почте.
- Письменная контрольная работа 160 минутРабота проводится аудиторно или при необходимости дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ. При возникновении у преподавателя сомнений в самостоятельности выполнения студентом контрольной работы перед выставлением оценки может быть проведено устное собеседование.
- Письменная контрольная работа 80 минутРабота проводится аудиторно или при необходимости дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ. При возникновении у преподавателя сомнений в самостоятельности выполнения студентом контрольной работы перед выставлением оценки может быть проведено устное собеседование.
- Письменный экзамен 160 минут в конце второго модуляРабота проводится аудиторно или при необходимости дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ. При возникновении у преподавателя сомнений в самостоятельности выполнения студентом контрольной работы перед выставлением оценки может быть проведено устное собеседование.
Промежуточная аттестация
- 2021/2022 учебный год 2 модульИтоговая десятибалльная оценка вычисляется как сумма оценок за контрольные и домашние работы, умноженных на 0,1 , и экзаменационной оценки, умноженной на 0,6. Обычные правила округления: число N переводится в целую часть числа N+0,5 (цифры после запятой отбрасываются)
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Линейная алгебра : учебник и практикум для бакалавров, Бурмистрова, Е. Б., 2014
- Линейная алгебра, дифференциальное исчисление функций одной переменной : учебник для вузов, Бурмистрова, Е. Б., 2010
- Сборник задач по математике для ВТУЗов: в 4 ч.. Ч.1: Линейная алгебра и основы математического анализа, Болгов, В. А., 1993
Рекомендуемая дополнительная литература
- Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебник для вузов, Ильин, В. А., 2012