Бакалавриат
2021/2022
Дифференциальные уравнения
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Преподаватели:
Арсеев Петр Иварович,
Зыбин Кирилл Петрович,
Клименко Алексей Владимирович,
Пятов Павел Николаевич,
Сапонов Павел Алексеевич,
Такэбэ Такаси
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
76
Программа дисциплины
Аннотация
Курс посвящён основам теории обыкновенных дифференциальных уравнений и включает в себя изучение общей теории ДУ (теоремы существования и единственности, зависимость от параметров), линейных ДУ, устойчивости решений.
Цель освоения дисциплины
- Освоение основных теорем базовых разделов теории дифференциальных уравнений (теорем существования и единственности, теории линейных систем, теория устойчивости)
- Освоение основных методов для явного решения и качественного исследования дифференциальных уравнений
Планируемые результаты обучения
- Знание общих свойств линейных ОДУ (продолжимость решений, независимость решений в точке и в целом, уравнение Лиувилля-Остроградского). Умение применять их для анализа конкретных линейных ОДУ.
- Знание основных свойств операторов Коши и преобразований потока. Умение вычислять их в простейших случаях.
- Знание примеров ОДУ, где отсутствует продолжимость решений на всю область определения правой части
- Знание результатов, связывающих локальное поведение системы и её линеаризации. Умение их применять к анализу конкретных ДУ.
- Знание условий дифференцируемости решения ОДУ по параметрам и началым условиям. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
- Знание условий непрерывной зависимости решения ОДУ от параметров и начальных условий. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
- Знание условий существования и единственности решения ОДУ. Умение применить их к исследованию конкретных ОДУ.
- Знание утверждений о продолжимости решений ОДУ. Применение их в исследовании конкретных ОДУ.
- Умение анализировать устойчивость неподвижных точек ОДУ с помощью функций Ляпунова и Четаева, а также с помощью линеаризации векторного поля в окрестности особой точки.
- Умение дифференцировать и искать разложения Тейлора решения конкретных ОДУ по параметрам и начальным условиям.
- Умение производить для конкретных ОДУ переход от уравнений высокого порядка к системам, от неавтономных систем к автономным и выполнять простейшие преобразования фазовых координат и времени
- Умение решать линейные ДУ и системы с постоянными коэффициентами, вычислять матричную экспоненту. Умение решать неоднородные линейные ОДУ, в том числе с квазимногочленами в правой части.
- Умение решать ОДУ с разделяющимися переменными. Умение применять различные методы для сведения различных классов ОДУ (однородные уравнения и др.) к уравнениям с разделяющимися переменными.
Содержание учебной дисциплины
- Элементарные свойства ОДУ и систем
- Теорема о существовании и единственности решений ОДУ
- Продолжение решений ОДУ
- Непрерывная зависимость решений ОДУ от параметров и начальных условий
- Оператор Коши и группа потока ОДУ
- Гладкая зависимость решений ОДУ от параметров
- Метод разделения переменных
- Общие свойства линейных ОДУ и их систем
- Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы
- Локальная теория дифференциальных уравнений вблизи особой точки
- Устойчивость решений дифференциальных уравнений
Элементы контроля
- Домашние задания
- Проверочные работы на семинарах
- Коллоквиум
- Экзамен
- Устная сдача задач листков
- Домашние задания
- Проверочные работы на семинарах
- Коллоквиум
- Экзамен
- Устная сдача задач листков
