Бакалавриат 2021/2022

Научно-исследовательский семинар "Гладкие многообразия"

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Математика)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Басалаев Алексей Андреевич, Вьюгин Илья Владимирович, Дунин-Барковский Петр Игоревич, Пушкарь Петр Евгеньевич, Хорошкин Сергей Михайлович

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 76

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина “Гладкие многообразия” посвящена аналитическим и геометрическим аспектом теории гладких многообразий. В результате прохождения курса студенты должны владеть понятиями, изучаемыми в курсе, а также применять их для выполнения операций анализа функций, заданных на многообразии.

Цель освоения дисциплины

• Освоение аналитических и геометрических аспектов теории гладких многообразий.

Планируемые результаты обучения

• Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм в R^n и на поверхностях в R^n. Знакомство с конструкцией разбиения единицы.
• Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм на многообразиях. Знакомство с интегрированием дифференциальных форм.
• Знакомство с определением и основными свойствами когомологий де Рама и доказательством их гомотопической инвариантности. Знакомство с леммой Пуанкаре и ее доказательством.
• Знакомство с определением и свойствами производной Ли и дифференциальных идеалов.
• Знакомство с определением многообразий с краем. Знакомство с формулой Стокса и ее следствиями.
• Знакомство с определением многообразий с помощью атласов, подмногообразий и морфизмов многообразий.
• Знакомство с тремя определениями касательного вектора. Знакомство с определением дифференциала отображения, векторных полей, касательного расслоения, коммутаторов векторных полей.

Содержание учебной дисциплины

• Кривые и поверхности в R^n
• Определение многообразия
• Касательные пространства и векторные поля
• Дифференциальные формы на R^n
• Дифференциальные формы на многообразиях
• Формула Стокса
• Когомологии де Рама
• Производная Ли
• Векторные расслоения. Тензоры

Элементы контроля

• Сдача листков
• работа на семинарах, включая контрольные, домашние задания, выступления, отчеты о семинарах
• Коллоквиумы

Промежуточная аттестация

• 2021/2022 учебный год 2 модуль
  min{10;0,6*(оценка за семинары)+0,25*(средняя оценка за коллоквиумы)+0,25*(оценка за листки)}

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Математический анализ. Т. 1: ., Зорич, В. А., 2015
• Математический анализ. Т. 2: ., Зорич, В. А., 2015

Рекомендуемая дополнительная литература

• Новиков, С. П. Современные геометрические структуры и поля : учебное пособие / С. П. Новиков, И. А. Тайманов. — Москва : МЦНМО, 2005. — 584 с. — ISBN 978-5-94057-102-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9379 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Современные геометрические структуры и поля, Новиков, С. П., 2005

Авторы

• Хорошкин Сергей Михайлович