Бакалавриат
2021/2022
Научно-исследовательский семинар "Механика"
Статус:
Курс по выбору (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
104
Программа дисциплины
Аннотация
В курсе механики студенты познакомятся с математическими основами одной из важнейших областей физики - классической механики. На примере простых и фундаментальных моделей будут объяснены принципы лагранжева и гамильтонова подхода в теоретической механике и продемонстрированы приложения современного математического аппарата: вариационного исчисления, теории дифференциальных уравнений, теории групп и алгебр Ли. Полученные при освоении дисциплины знания и навыки пригодятся в дальнейшем при освоении курсов вариационного исчисления и гамильтоновой механики, дифференциальной геометрии и классической теории поля, квантовой механики и квантовой теории поля.
Цель освоения дисциплины
- Познакомить студентов с принципами построения математических моделей физических явлений на примере механических систем с конечным числом степеней свободы. Выработать практические навыки обращения с математическим аппаратом теоретической механики: уравнениями Эйлера-Лагранжа и уравнениями Гамильтона; основами вариационного исчисления и принципом наименьшего действия; методами исследования симметрий физических моделей и теоремой Э. Нётер; пуассоновыми структурами.
Планируемые результаты обучения
- - Умение строить простейшие механические модели, определять число степеней свободы, структуру конфигурационного пространства, выписывать уравнения движения
- Получение практического навыка вычисления скобок Пуассона различных физических величин, умение находить ограничение вырожденных скобок на симплектические листы, умение выполнять канонические преобразования по заданной производящей функции.
- Решение уравнения Ньютона для одномерной системы через закон сохранения энергии, умение строить и анализировать качественный фазовый портрет одномерной механической системы.
- Умение находить вариацию действия системы и недостающие граничные условия, умение находить симметрии действия и строить по ним Нетеровские интегралы движения
- Умение находить группу симметрий по интегралам движения, умение вычислять инфинитезимальные преобразования наблюдаемых под действием группы симметрий.
- Умение переходить к криволинейным координатам (цилиндрическим и полярным), находить траектории движения в Ньютоновом гравитационном потенциале, умение выводить законы Кеплера
- Умение строить гамильтониан системы, находить и решать гамильтоновы уравнения движения.
- Умение строить лагранжиан данной механической модели, выписывать уравнения Эйлера-Лагранжа, находить простейшие законы сохранения по циклическим координатам, строить энергию системы
Содержание учебной дисциплины
- Основные понятия классической ньютоновской механики.
- Одномерные системы
- Движение в центральном поле
- Принцип Даламбера. Уравнения Эйлера-Лагранжа
- Вариационные методы. Принцип наименьшего действия и теорема Нетер
- Гамильтонов формализм.
- Скобки Пуассона и канонические преобразования
- Законы сохранения в гамильтоновом формализме.
Элементы контроля
- Домашние заданияОценка за ДЗ может превышать 10. Максимальная возможная оценка - 11.1
- Пятиминутные контрольные на семинареОценка может превышать 10 баллов
- Контрольные работы
- Письменный экзамен
