Бакалавриат 2021/2022

Введение в топологию

Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1-й курс, 2, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Горденко Анна Станиславовна, Дунин-Барковский Петр Игоревич, Ященко Иван Валериевич

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 114

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина для 1 курса ОП бакалавриата "Математика" и "Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ". Курс подготовлен при участии МЦНМО, факультета математики НИУ ВШЭ и НТУ “Сириус”. Пререквизиты: к началу курса (2 модуль) необходимо владеть языком «наивной» теории множеств и элементарными понятиями анализа (действительные числа, предел последовательности действительных чисел, непрерывная функция на действительной прямой). К началу февраля желательно знать основные понятия теории групп (группа, гомоморфизм групп, смежные классы, действие группы на множестве). Кроме традиционных семинаров (очных или онлайн) и доп. лекций/консультаций, существенная часть нашего курса проходит онлайн, в системе Сириус.Курсы. Курс в системе состоит из учебных модулей. Основная часть модуля рассчитана примерно на неделю. Внутри модуля — видеофрагменты с теорией, упражнения (с автоматической проверкой) на ее понимание, задачи (про них полезно подумать самостоятельно, а узнать решения можно на семинаре или [позже] в системе). Все это — учебные вещи, к ним можно возвращаться в течение курса, нужно только закрыть все [обязательные] модули (обычно это обозначает выполнение 70% заданий в модуле) к концу курса. А те, кто будут закрывать модуль до соответствующего ему семинара, получат дополнительный балл к итоговой оценке. Помимо обязательных модулей, в курсе будут модули необязательные (обозначенные звёздочкой). Студентам ОП "Совместный бакалавриат ВШЭ и ЦПМ" рекомендуется изучить модуль “Фундаментальная группа” и ещё один на выбор.

Цель освоения дисциплины

• Знакомство с основными понятиями и результатами общей топологии и некоторыми разделами алгебраической топологии (фундаментальная группа и теория накрытий).

Содержание учебной дисциплины

• Введение: наглядная топология; примеры топологических пространств и топологических теорем.
• Топология прямой: открытые и замкнутые множества, теорема Бэра и точки разрыва производной*.
• Метрические пространства: примеры, изометрия и гомеоморфизм, пространство Урысона*.
• Топологические инварианты: линейная связность, теорема о промежуточном значении и связность, доказательства негомеоморфности.
• Полнота и ее применения: сжимающие отображения и применение к существованию решений уравнений, продолжение функций на пополнение*.
• Компактность: эквивалентные определения, связи с анализом, теорема Стоуна–Вейерштрасса*, теорема Брауэра и лемма Шпернера*.
• Топологические пространства: определения, примеры, свойства отделимости.
• Размерность*: разные определения.
• Топологические пространства: напоминание. Одноточечная компактификация*. Теорема Тихонова*.
• Фактортопология (склейка).
• Двумерные поверхности. Эйлерова характеристика. Классификация поверхностей.
• Кривые. Гомотопии кривых и отображений.
• Степень отображения окружности в себя. Применения: основная теорема алгебры и теорема Брауэра.
• Векторные поля на плоскости и на поверхностях*.
• Фундаментальная группа (обзор)*.

Элементы контроля

• работа в системе
  Задачный практикум: каждую субботу появляются задачи для письменного решения; присланные решения проверяются и комментируются, дальше их можно дорабатывать. Каждую задачу можно сдавать в течение 2 недель; в спорных случаях ассистент может пригласить вас обсудить задачу устно на “мигающем” семинаре.
• усреднённая оценка за контрольные работы на семинарах
• итоговый экзамен
• midterm
• бонус за своевременное выполнение заданий в системе

Промежуточная аттестация

• 2021/2022 учебный год 3 модуль
  X = 0.3S + 0.25T + 0.25M + 0.3F + I, где S — оценка за работу в системе, T — усреднённая оценка за контрольные на семинарах, M — оценка за midterm, F — оценка за итоговый экзамен, I — бонус за своевременное выполнение заданий в системе.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Прасолов, В. В. Наглядная топология : учебное пособие / В. В. Прасолов. — 3-е изд. — Москва : МЦНМО, 2014. — 112 с. — ISBN 978-5-4439-2055-9. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56410 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Элементарная топология : учебное пособие / О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. — Москва : МЦНМО, 2010. — 352 с. — ISBN 978-5-94057-587-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9313 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Рекомендуемая дополнительная литература

• Прасолов, В. В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии / В. В. Прасолов. — Москва : МЦНМО, 2004. — 352 с. — ISBN 5-94057-072-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9395 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.