Введение в алгебраическую топологию

2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Преподаватели: Казарян Максим Эдуардович, Пушкарь Петр Евгеньевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Одна из наиболее ярких черт, отличающих математику XX века от всей предшествующей — появление и развитие алгебраической топологии. В настоящее время использование алгебро-топологического инструментария стало непременным атрибутом значительной части математических исследований. Сочетание геометрических идей с формализованными алгебраическими алгоритмами для вычисления топологических инвариантов привели к эффективному средству изучения многих математических структур, в том числе, и не связанных напрямую с топологией. Эта область математики породила, например, такие направления как гомологическая алгебра и теория алгебр Хопфа. В курсе предлагается значительное количество задач на вычисление алгебротопологических характеристик различных топологических пространств

Цель освоения дисциплины

Целью курса является знакомство с базовыми понятиями топологии: симплициальные комплексы, симплициальные отображения, пути, гомотопии путей, фундаментальная группа, накрытия, цепные комплексы векторных пространств, гомологии, когомологии, двойственность Пуанкаре.

Планируемые результаты обучения

Освоение понятия гомотопической эквивалентности
Получение навыка вычисления гомологий цепных комплексов
Умения вычисления симплициальных гомологий простейших пространств: окружности, тора, симплекса и сферы
Освоение метода диаграммного поиска для доказательства точности последовательности. Умение применять длинную точную последовательность для вычисления гомологий конкретных пространств
Умение выбрать подходящую модель теории гомологий для решения конкретных задач
Умение применения методов дифференциальной геометрии для решения топологических задач
Умение вычисления индекса пересечений подмногообразий, заданных конкретными уравнениями
Умение определения ориентации пересекаемых циклов. Вычисление колец когомологий простейших пространств: проективных пространств, произведений сфер и надстроек
Умение применения функций Морса для исследования топологии конкретных пространств.

Содержание учебной дисциплины

Топологические пространства и операции над ними
Даем описание основных операций над топологическими пространствами: факторпространство, конус, надстройка, джойн
Цепной комплекс
Циклы, границы, гомологическая эквивалентность, гомологии
Симплициальные гомологии
Симплициальное пространство и его цепной комплекс. Граничный оператор
Клеточные и сингулярные гомологии
Сравнение разных подходов к теории гомологий. Доказательство их эквивалентности для клеточных пространств.
Длинная точная последовательность
Понятие точной последовательности. Метод диаграммного поиска
Гомологии многообразий
Фундаментальный класс. Ориентируемость. Двойственность Пуанкаре
Индекс пересечения и степень отображения
Пересечение циклов. Локальный индекс. Классификация отображений сфер одинаковой размерности. Индекс зацепления
Умножение в когомологиях
"Чашечное" умножение и пересечение циклов. Вычисление кольца когомологий проективного пространства
Теория Морса
Индекс Морса. Комплекс Морса. Неравненство Морса.

Элементы контроля

Контрольная работа
Итоговый письменный экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.7 * Итоговый письменный экзамен + 0.3 * Контрольная работа

Программа дисциплины