Уравнения с частными производными

2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Преподаватели: Шапошников Станислав Валерьевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 72

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Огромное число физических, геометрических, вероятностных задач приводят к построению и исследованию решений уравнений с частными производными, причем важнейшую роль в таких исследованиях играют идеи и методы функционального анализа. В настоящем курсе мы не только познакомимся с типичными примерами уравнений и методами их решений, но и обсудим пространства Соболева и теорию полугрупп операторов. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА: Линейная алгебра и математический анализ

Цель освоения дисциплины

Познакомиться с типичными примерами уравнений и методами их решений
Обсудить пространства Соболева и теорию полугрупп операторов.

Планируемые результаты обучения

Познакомились с типичными примерами уравнений и методами их решений, но и обсудили пространства Соболева и теорию полугрупп операторов.

Содержание учебной дисциплины

Уравнения с частными производными в физических, геометрических и вероятностных задачах.
Волновое уравнение. Формулы Даламбера, Пуассона и Кирхгофа. Распространение волн.
Обобщенные функции и обобщенные производные. Преобразование Фурье. Фундаментальное решение оператора Лапласа, оператора теплопроводности, оператора Даламбера.
Пространства Соболева. Неравенства Соболева и теоремы вложения.
Теоремы Рисса и Лакса–Мильграма, априорные оценки и продолжение по параметру. Разрешимость краевых задач для эллиптических и параболических уравнений.
Принцип максимума для классических и соболевских решений. Альтернатива Фредгольма.
Качественные свойства решений эллиптических и параболических уравнений: теоремы о среднем, неравенство Харнака, гёльдеровость соболевских решений, поведение решений на бесконечности.
Неограниченные операторы. Задача Штурма–Лиувилля. Расширение по Фридрихсу оператора Лапласа. Теорема Гильберта–Шмидта и обоснование метода Фурье.
Полугруппы. Теорема Хилле–Иосиды. Свойства тепловой полугруппы и полугруппы Орнштейна–Уленбека.
Нелинейные уравнения. Теоремы о неподвижной точке. Монотонные операторы. Вариационные методы. Разрушение решений

Элементы контроля

две контрольные
коллоквиум
экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.2 * две контрольные + 0.4 * коллоквиум + 0.4 * экзамен

Программа дисциплины