2020/2021
Уравнения с частными производными
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Преподаватели:
Шапошников Станислав Валерьевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
72
Программа дисциплины
Аннотация
Огромное число физических, геометрических, вероятностных задач приводят к построению и исследованию решений уравнений с частными производными, причем важнейшую роль в таких исследованиях играют идеи и методы функционального анализа. В настоящем курсе мы не только познакомимся с типичными примерами уравнений и методами их решений, но и обсудим пространства Соболева и теорию полугрупп операторов. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА: Линейная алгебра и математический анализ
Цель освоения дисциплины
- Познакомиться с типичными примерами уравнений и методами их решений
- Обсудить пространства Соболева и теорию полугрупп операторов.
Планируемые результаты обучения
- Познакомились с типичными примерами уравнений и методами их решений, но и обсудили пространства Соболева и теорию полугрупп операторов.
Содержание учебной дисциплины
- Уравнения с частными производными в физических, геометрических и вероятностных задачах.
- Волновое уравнение. Формулы Даламбера, Пуассона и Кирхгофа. Распространение волн.
- Обобщенные функции и обобщенные производные. Преобразование Фурье. Фундаментальное решение оператора Лапласа, оператора теплопроводности, оператора Даламбера.
- Пространства Соболева. Неравенства Соболева и теоремы вложения.
- Теоремы Рисса и Лакса–Мильграма, априорные оценки и продолжение по параметру. Разрешимость краевых задач для эллиптических и параболических уравнений.
- Принцип максимума для классических и соболевских решений. Альтернатива Фредгольма.
- Качественные свойства решений эллиптических и параболических уравнений: теоремы о среднем, неравенство Харнака, гёльдеровость соболевских решений, поведение решений на бесконечности.
- Неограниченные операторы. Задача Штурма–Лиувилля. Расширение по Фридрихсу оператора Лапласа. Теорема Гильберта–Шмидта и обоснование метода Фурье.
- Полугруппы. Теорема Хилле–Иосиды. Свойства тепловой полугруппы и полугруппы Орнштейна–Уленбека.
- Нелинейные уравнения. Теоремы о неподвижной точке. Монотонные операторы. Вариационные методы. Разрушение решений
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (4 модуль)0.2 * две контрольные + 0.4 * коллоквиум + 0.4 * экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Петровский И.Г. - Лекции об уравнениях с частными производными - Издательство "Физматлит" - 2009 - 404с. - ISBN: 978-5-9221-1090-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59551
Рекомендуемая дополнительная литература
- Наймарк М.А. - Линейные дифференциальные операторы. - Издательство "Физматлит" - 2010 - 528с. - ISBN: 978-5-9221-1259-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2749