Математика для прагматика

2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Преподаватели: Хохлов Андрей Владимирович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 72

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Практическое использование математических конструкций неизбежно связано с конечностью и дискретностью, в то время как изучение Математики во многом опирается на описания непрерывных объектов; полезно знать, как именно реализуются некоторые непрерывные конструкции на практике. Например, появление цифровых стандартов привело к тому, что обработка непрерывных во времени сигналов стала типовой задачей для программистов. В курсе будут рассмотрены примеры распространённых математических моделей в их дискретных и непрерывных вариантах, соответствие формул и взаимосвязь эффектов, характерных для каждого варианта. Примеры будут объединены в несколько отдельных сюжетов, предполагается, что для большинства примеров будут просчитаны визуальные интерпретации.

Цель освоения дисциплины

Знакомство с распространёнными математическими моделями физических процессов в их дискретных и непрерывных вариантах и понимание соответствия формул и взаимосвязи эффектов, характерных для каждого варианта, на таких примерах как акустическое зондирование, оцифровка сигнала, компьютерная томография, анализ броуновского движения и т.п.
Знание основ математических методов построения математических моделей физических процессов и их дискретизации: дискретные версии дифференцирования и интегрирования, преобразование Фурье, стохастические уравнения, функциональное интегрирование и т. п.
Умение доводить дискретные математические модели до практически реализуемого программного кода, позволяющего получать явные качественные результаты о процессах и визуализировать полученные результаты

Планируемые результаты обучения

Практические реализации оцифровки непрерывных во времени сигналов и их программная обработка.
Освоение распространённых дискретных и непрерывных математических моделей распространения сигнала, понимание соответствия формул и взаимосвязи эффектов, характерных для дискретных и непрерывных моделей.
Практический опыт компьютерного обсчёта примеров и построения их визуальной интерпретации.
Освоение методов программного дискретного дифференцирования.
Практическая компьютерная реализация алгоритмов быстрого преобразования Фурье
Освоение элементов гармонического анализа и их использование для цифровой обработки сигналов
Практическая компьютерная реализация преобразования Фурье и преобразования Радона, основы компьютерной томографии
Освоение методов цифровой обработки акустических сигналов и опыт из практической реализации на уровне программного кода
Знакомство с мерой Виннера
Освоение теории случайного блуждания
Представление о Фейнмановских интегралах и способах их вычисления
Представление о методах математической статистики
Представление об основах теории стохастических процессов
Представление о марковских моделях и способах их обсчёта
Представление о Виннеровских процессах и способах их обсчёта
Представление о широко употребляемых стохастических моделях и представлении их решений.
Овладение основами теории Ито и стохастическими уравнениями
Практическая компьютерная реализация алгоритмов теории статистических уравнений
Освоение распространённых дискретных и непрерывных математических моделей различных задач естествознания, понимание соответствия формул и взаимосвязи эффектов, характерных для дискретных и непрерывных моделей.

Содержание учебной дисциплины

Акустическое зондирование
Цифровая регистрация, импульсный базис и описания в нём искажений сигнала в слоистых средах
Дифференцирование в дискретном времени
Оператор сдвига и его конечномерная модель, дифференцирование в дискретном времени и круговые частоты.
Преобразование Фурье
Формула замены координат от частотного базиса к импульсному и преобразование Фурье. Предельные переходы, альясинг и связь с привычными из анализа формулами Фурье.Быстрое преобразование Фурье и его версии для различных простых делителей. Некоторые новые идеи и обобщения: случай линейных дифференциальных операторов и примеры из уравнений математической физики, роль симметрий, двойственность Понтрягина (в том числе для некоммутативных групп).
Теорема отсчетов Котельникова -- Шеннона.
Теорема Котельникова. Частотные фильтры и их практическое построение (на уровне программного кода). Сигнал и шум, проблема отделения помех и теорема Шеннона. Томография, преобразование Радона и связь с преобразованием Фурье. Статья Теренса Тао, получившая более, чем четырнадцать тысяч цитирований, и её смысл.
Интегрирование по множеству непрерывных функций на отрезке
Усреднение по множествам сигналов и интегрирование по множеству непрерывных функций на отрезке. Мера Винера и ее носители. Практические модели естествознания, приводящие к интегрированию по функциональным пространствам.
Броуновские траектории
Свойства броуновских траекторий и примеры явных аналитических вычислений интегралов по броуновским траекториям. Связь интеграла по броуновским траекториям и интеграла Фейнмана. Траектории случайного блуждания по решеткам размерностей 2, 3 и больше, ключевые отличия от одномерного случая. Связь с уравнениями математической физики.
Стохастический мир
Обзор некоторых методов вычислений в теории вероятностей: моменты, асимптотики, свойства смесей и т.п. Практические вычисления в стохастическом мире и что собственно можно проверить статистикой?
Стохастические модели
Модели классической механики и марковские модели. Винеровский процесс и физическое броуновское движение. Широкоупотребимые стохастические модели и представление их решений. Диффузионные уравнения. Порождающий процесс Винера.
Стохастические уравнения
Уравнение Ито и лемма Ито. Вычисления компьютерные и аналитические. Стохастические интегралы и отличительная специфика формул стохастического мира от формул математического анализа.

Элементы контроля

домашние задания
письменный экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.5 * домашние задания + 0.5 * письменный экзамен

Программа дисциплины