2020/2021
Комплексный анализ
Статус:
Факультатив
Когда читается:
1-3 модуль
Преподаватели:
Днестрян Андрей Игоревич
Язык:
русский
Кредиты:
4
Контактные часы:
90
Программа дисциплины
Аннотация
Курс «Комплексный анализ» содержит базовые элементы теории функций одного комплексного переменного: комплексные числа, регулярные функции, аналитическое продолжение регулярных функций и др., а также разделы теории, часто применяющиеся в приложениях, такие как вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов, деформации контура в комплексной плоскости, специальные функции, асимптотические методы и др. Факультатив рассчитан на студентов 2-3 курсов, и будет полезен для изучения студентам НИУ ВШЭ любых специальностей, среди обязательных дисциплин которых отсутствует ТФКП (ФКН, МИЭМ).
Цель освоения дисциплины
- Ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории функций комплексного переменного и ее приложений.
Планируемые результаты обучения
- Знать понятие голоморфной функции и ее свойств
- Уметь вычислять интегралы различных типов с помощью теории вычетов
- Знать свойства голоморфных функций, не имеющих аналогов в вещественном анализе
- Уметь вычислять асимптотики функций
- Уметь решать задачу Дирихле для уравнения Пуассона
Содержание учебной дисциплины
- Введение в теорию функций комплексного переменного.Комплексные числа, расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Дифференцирование, условия Коши-Римана. Регулярность. Многозначные функции. Интегрирование. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши. Функциональные и степенные ряды. Теорема Вейерштрасса, теоремы Абеля. Теорема единственности для регулярных функций. Ряд Лорана.
- Теория вычетов и ее применение для вычисления определенных интегралов.Изолированные особые точки однозначного характера. Вычеты, вычисление интегралов с помощью теории вычетов. Лемма Жордана. Деформирование контура в комплексной плоскости.
- Особенности регулярных функцийЦелые функции. Теорема Лиувилля, теоремы Сохоцкого и Пикара. Мероморфные функции. Теорема о представлении мероморфной функции рядом из элементарных дробей. Аналитическое продолжение, теорема о монодромии. Особые точки аналитических функций. Теорема Коши-Адамара. Лакунарные ряды и естественная граница.
- Приложения ТФКПТеорема Руше, основная теорема алгебры. Принцип максимума модуля регулярной функции, принцип максимума гармонической функции. Задача Дирихле уравнения Лапласа. Интеграл Пуассона для круга. Асимптотические методы: перевала, Лапласа, стационарной фазы. Спецфункции: функция Эйри, Гамма-функция Эйлера.
Элементы контроля
- Домашнее задание №1
- Домашнее задание №2
- Письменная контрольная работа
- Устный экзаменУстный экзамен по всей программе курса.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (3 модуль)0.15 * Домашнее задание №1 + 0.15 * Домашнее задание №2 + 0.25 * Письменная контрольная работа + 0.45 * Устный экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Теория функций комплексного переменного : учебник / Е.С. Половинкин. — М. : ИНФРА-М, 2018. — 254 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — www.dx.doi.org/10.12737/6014. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/945532
Рекомендуемая дополнительная литература
- Привалов И. И. - ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Учебник для вузов - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 402с. - ISBN: 978-5-534-01450-1 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/vvedenie-v-teoriyu-funkciy-kompleksnogo-peremennogo-444949