Основы теории алгебр Клиффорда и спиноров

2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Факультатив

Кто читает: Департамент математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Преподаватели: Широков Дмитрий Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 48

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Предполагается, что слушатели знакомы с основными понятиями линейной алгебры, читаемой на 1 курсе бакалавриата различных факультетов НИУ ВШЭ. Все остальные необходимые сведения будут даваться по ходу изложения. Теория алгебр Клиффорда является активно развивающейся областью и имеет различные применения в математике, физике, компьютерных науках, инженерии и других науках. После успешной сдачи курса, для заинтересованных, возможна активная работа над научно-исследовательскими задачами с последующим написанием курсовой или дипломной работы, а также научных публикаций.

Цель освоения дисциплины

познакомиться с основами теории алгебр Клиффорда и геометрической алгебры, теорией спинорных групп и приложениями
познакомиться с различными аспектами линейной алгебры, общей алгебры, теории представлений, теории групп и алгебр Ли, дифференциальной геометрии и математической физики

Планируемые результаты обучения

формулировать определения основных алгебро-геометрических понятий и приводить к ним примеры
перечислять примеры алгебр Клиффорда малых размерностей
описывать основные операции в алгебрах Клиффорда и их свойства
классифицировать матричные представления алгебр Клиффорда
описывать реализации основных алгебр Ли и групп Ли в алгебрах Клиффорда
описывать некоторые приложения алгебр Клиффорда в геометрии и физике

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Некоторые основные алгебро-геометрические понятия.
Группы, кольца, поля, алгебры; евклидовы, унитарные, нормированные, метрические, топологические пространства, многообразия.
Тема 2. Алгебры Клиффорда в случае малых размерностей, примеры.
Комплексные числа, двойные числа, кватернионы. Матрицы Паули, матрицы Дирака. Внешняя алгебра (или алгебра Грассмана), алгебра дифференциальных форм.
Тема 3. Некоторые основные операции в алгебрах Клиффорда.
Операции сопряжения в алгебрах Клиффорда, инволюции, градуировки. Коммутаторы и антикоммутаторы, центр алгебры Клиффорда. Унитарное пространство на алгебре Клиффорда. Унитарные группы в алгебрах Клиффорда.
Тема 4. Матричные представления алгебр Клиффорда.
Основы теории представлений конечных групп, матричные представления алгебр Клиффорда, точные и неприводимые представления. Периодичность Картана-Ботта. Примитивные идемпотенты и минимальные левые идеалы. Теорема Паули о связи двух наборов антикоммутирующих величин.
Тема 5. Алгебры Ли и группы Ли в алгебрах Клиффорда.
Группы Липшица и группы Клиффорда. Спинорные группы в случае произвольной размерности. Двулистные накрытия ортогональных групп спинорными группами. Теорема Картана-Дьедонне. Изоморфизмы спинорных групп малых размерностей классическим матричным группам.
Тема 6. Приложения алгебр Клиффорда в геометрии, физике.
Уравнение Дирака, спиноры Паули, Дирака, Вейля, Майорана, Майорана-Вейля.

Элементы контроля

контрольная работа
экзамен
Экзамен проводится в письменной форме в системе Zoom. Компьютеры студентов должны позволять работать в ней. Необходимо наличие микрофона и камеры, в поле зрения которой все время проведения экзамена должны помещаться как руки, так и голова студента. Во время экзамена студентам запрещено выключать камеру. Разрешается только выполнять решение задач ручкой с яркой пастой черного или синего цвета на нелинованных листах формата А4. Работа на каких-либо электронных устройствах, пользование любой литературой или посторонней помощью запрещается. На каждой странице решений задач в правом верхнем углу должны быть указаны фамилия, имя и группа студента. Страницы должны быть пронумерованы. Весь сеанс проведения экзамена будет записываться. Если во время экзамена или при последующем просмотре записи будут обнаружены нарушения студентом условий проведения экзамена, то ему может быть выставлена неудовлетворительная оценка в независимости от количества решенных задач. При любых перерывах в связи со стороны конкретного студента экзамен может быть прекращен и ему выставлена неудовлетворительная оценка. Пересдачи экзамена пройдут уже в новом учебном году. Их формат может отличаться от проведения экзамена (в том числе, обычный аудиторный формат вместо он-лайн), что будет определяться приказами по НИУ ВШЭ. Ссылка в системе Zoom высылается на корпоративные адреса студентов не позднее, чем за 30 минут до начала экзамена. В зависимости от численности сдающих студенты могут быть разбиты на несколько потоков с разным временем начала экзамена. Студенты одного потока также разбиваются на несколько групп, каждая из которых имеет свой адрес в Zoom. За 15 минут до начала экзамена студенты должны войти в систему Zoom, включить камеру и микрофон и пройти процедуру своей идентификации. Студенты должны входить в систему и работать под своими реальными фамилией и именем на русском языке, в противном случае они не могут быть допущены к экзамену или будут удалены с него. При решении задач могут использоваться только те методы, которые разбирались и применялись на лекциях или семинарах. Итоговая оценка выставляется по формуле, приведенной в Программе дисциплины.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.4 * контрольная работа + 0.6 * экзамен

Программа дисциплины