2020/2021
Классическая теория поля
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Классическая теория поля является одним из краеугольных камней теоретической физики, и при этом включает в себя многие интересные математические идеи. Все потенциальные слушатели уже и так в той или иной степени знакомы с одним из примеров теории поля – теорией электромагнитного поля (которая и будет основной целью обсуждений в рамках данного курса). Теория поля изучает системы с бесконечным (условно говоря, континуальным) числом степеней свободы: у поля есть динамически меняющееся значение в каждой точке пространства. В данном курсе будут напомнены математические формулировки основных необходимых физических принципов; будет дано краткое введение в специальную теорию относительности (описывающую пространство-время, в котором живет электромагнитное поле). Целью курса, в частности, является обсуждение того, как получать в явном виде конкретные уравнения, позволяющие описывать реальные явления в физическом мире, связанные с поведением электромагнитного поля. При этом также будут обсуждаться интересные абстрактные математические конструкции. Например, будет обсуждаться теория Янга–Миллса, частным случаем которой является теория электромагнитного поля. Теория Янга–Миллса формулируется в терминах связностей на главных расслоениях (грубо говоря, расслоениях, на которых действуют группы Ли). При этом электродинамика соответствует группе U(1) (то есть, группе поворотов окружности). К слову, поля, соответствующие двум из трех оставшихся фундаментальных взаимодействия в природе (сильному и слабому) тоже описываются теориями Янга–Миллса, только для других групп Ли (правда, на обсуждение сильного и слабого взаимодействий в рамках данного курса уже не хватит времени). В рамках курса будут напомнены все необходимые базовые сведения про группы Ли и главные расслоения, желательно только общее знакомство с гладкими многообразиями.
Планируемые результаты обучения
- Освоение лагранжевой формулировка классической механики.
- Освоение основ специальной теории относительности.
- Знакомство с простейшими полями.
- Знакомство с основными свойствами полей.
- Знакомство с теорией Янга-Миллса.
- Знакомство с теорией электромагнитного поля.
- Знакомство с описанием поведения частицы в электромагнитном поле.
- Знакомство с основными свойствами электромагнитного поля.
- Знакомство с основами теории электромагнитного излучения.
Содержание учебной дисциплины
- Лагранжева формулировка классической механикиПринцип наименьшего действия, первая теорема Нётер, законы сохранения и группы симметрии механической системы.
- Основы специальной теории относительностиПринцип относительности Эйнштейна, пространство Минковского, группы и алгебры Лоренца и Пуанкаре. Свободная релятивистская частица. Действие и симметрии релятивистской струны.
- Простейшие поляПредельный переход от механической к полевой системе. Скалярное вещественное поле. Общее решение уравнения Клейна–Гордона.
- Базовые свойства полейПринцип наименьшего действия в полевых моделях, первая теорема Нётер, сохраняющиеся токи и заряды. Тензор энергии-импульса скалярного поля.
- Теория Янга-МиллсаОбщая теория Янга–Миллса, связность в главном расслоениии, кривизна связности.
- Электромагнитное полеСвободное электромагнитное поле как пример абелевой теории Янга–Миллса. 4-вектор потенциала и тензор напряжённости, уравнения Максвелла. Калибровочная инвариантность. Кулоновская калибровка. Плоские волны.
- Частица в электромагнитном полеРелятивистская частица во внешнем электромагнитном поле: уравнения движения, сила Лоренца. Уравнения движения электромагнитного поля в присутствии зарядов и токов.
- Свойства электромагнитного поляЗакон сохранения энергии в электродинамике. Плотность энергии и плотности потока энергии электромагнитного поля, вектор Пойнтинга. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля.
- ИзлучениеЗапаздывающая функция Грина волнового уравнения, потенциалы Лиенара-–Вихерта точечного заряда и соответствующие напряжённости полей. Электрическое дипольное излучение, угловое и частотное распределение его интенсивности.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)Работа в семестре выражается оценкой НАКОП = 0.6 ⋅ ЛИСТКИ + 0.4 ⋅ КОНТРОЛЬНЫЕ , где «ЛИСТКИ» и «КОНТРОЛЬНЫЕ» — отнормированные на 10 баллов оценки за выполнение листков и контрольных (при этом, по каждому из этих пунктов можно получить и больше десяти баллов). Если НАКОП (без учета округления) становится больше или равен 8, то студент может сразу получить эту оценку (округленную по стандартным правилам, до ближайшего целого; полуцелые округляются вверх) в ведомость. Если НАКОП на дату проведения экзамена меньше 8, то оценка за курс вычисляется по формуле ОЦЕНКА = 0.5 ⋅ НАКОП + 0.6 ⋅ ЭКЗАМЕН , где «ЭКЗАМЕН» — оценка за экзамен, от 0 до 10 баллов (округление по тем же правилам, что и выше).
