2020/2021
Введение в алгебраическую теорию чисел
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Преподаватели:
Жгун Владимир Сергеевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Алгебраическая теория чисел – классическая область математики, сформировавшаяся в ходе исследования решений диофантовых уравнений, а также благодаря попыткам доказать теорему Ферма. Сейчас это обширная классическая область лежащая в основании Арифметической геометрии. В этом курсе мы напомним основы теории Галуа, рассмотрим так называемую теорию ветвления, докажем основные теоремы о структуре идеалов (разложения на простые идеалы), докажем теорему Дирихле о структуре S-единиц, теорему о конечности группы классов. Мы осветим очень важную аналогию между теорией алгебраических чисел и теорией алгебраических кривых над конечными полями, а также расскажем о геометрии Аракелова позволяющей построить «компактификацию» кривой над кольцом целых алгебраических чисел.
Цель освоения дисциплины
- Цель курса дать введение в алгебраическую теорию чисел. Познакомить с основными понятиями проблемами и методами. Дать преставление об основных теоремах, таких как теорема о структуре разложения на множители для идеалов, теорема Дирихле о структуре S-единиц, теорема о конечности группы классов. Познакомить слушателей с техникой Аделей и дать начальные представление о геометрии Аракелова.
Планируемые результаты обучения
- освоение операций над расширениями полей
- возможность проводить вычисления для разложения идеала на простые множители
- овладения описанием группы Галуа для Локальных и глобальных полей
- вычисление образующий группы единиц и группы классов идеалов
- освоение операций с алгебраическими числами
- Овладение теорией приближений
- вычисление норм и следов алг элементов.Вычисление дифферент
Содержание учебной дисциплины
- Теория полей. Сепарабельные, чисто несепарабельные, нормальные расширения Расширения Галуа.Введение в теорию полей и теорию вложений
- Целые алгебраические числа и их свойства
- Пополнения и p-адические числа.
- Теория ветвления. Нормы Следы. Дифферента Дискриминант.
- Дедекиндовы кольца теория разложения на просты идеалы. Группа классов
- Локальная и глобальная теория полей классов
- Теорема о конечности группы классов идеалов. Теорема Дирихле о единицах. Теорема Минковского.
Элементы контроля
- списки задач необходимых к сдачеимеет вес 1/3 в общей оценке
- письменный домашний экзамен.имеет вес 2/3 в общей оценке
