Научно-исследовательский семинар "Элементы стохастической динамики"

2020/2021

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Преподаватели: Ильин Антон Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 72

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Стохастические динамические системы возникают в самых разных областях — от теоретической физики и астрофизики до экономики и финансовой математики. Изложение будет вестись на относительно элементарном языке корреляционных функций и их производящих функционалов, что позволит в дальнейшем плавно перейти к изучению технически более сложных конструкций квантовой теории поля, статистической физики, финансовой математики и пр. Мы начинём с обсуждения непрерывных случайных величин, плотности вероятности, статистических моментов, характеристических функций и связных моментов (куммулянтов) случайных векторов, которые позволяют легко и изящно изложить закон больших чисел, ЦПТ и принципы больших отклонений, а также будут использоваться в дальнейшем на курсах квантовой теории поля и статистической физики. Случайная функция (случайный процесс, случайное поле) вводится как естественное обобщение случайного вектора на бесконечномерный случай. Изложение также ведется на языке корреляционных функций и куммулянтов. Мы обсудим корреляционное время, корреляционный масштаб, дельта-процессы, Пуассоновский и Гауссовский случайные процессы, теорему Вика, принципы расщепления корреляций, закон больших чисел и ЦПТ для случайных процессов с конечным корреляционным временем. Далее рассматриваются простейшие линейные стохастические дифференциальные уравнения с аддитивным шумом (диффузия) и мультипликативным шумом (системы с перемежаемостью). Такие уравнения встречаются во многих областях теоретической физики, экономики и финансовой математики, и составляют базу для интуитивного понимания процессов в более сложных нелинейных стохастических системах. В качестве интересного примера, обсуждается парадоксальное поведение статистических моментов в системах с мультипликативным шумом и поясняется значение редких «катастрофических» событий для жизни таких систем. В заключении курса рассматривается технически довольно сложная, но чрезвычайно красивая теория континуальных произведений случайных матриц. Эти произведения естественным образом возникают при решении линейных матричных стохастических уравнений с мультипликативным шумом и используются в теории турбулентного транспорта, гидродинамике, экономике и разных других областях.

Цель освоения дисциплины

Освоение основных инструментов стохастической динамики с возможностью дальнейшего применения в самых различных областях прикладной науки, таких как квантовая теория поля или статистическая физика.

Планируемые результаты обучения

Слушатели познакомятся с основными идеями и понятиями этой стохастических динамических систем а также освоят минимальный набор инструментов для решения конкретных задач

Содержание учебной дисциплины

Случайные векторы, моменты, куммулянты, производящие функции.
Гауссовы случайные векторы.
Закон больших чисел, центральная предельная теорема, принцип больших отклонений.
Негауссовы случайные векторы, теорема Марцинкевича.
Случайные процессы и поля, Корреляционные функции, Связные Корреляционные Функции, Производящие функционалы.
Одноточечная и двухточечная статистика, корреляционное время. Дельта процессы. Пуассоновский процесс.
Гауссовы случайные процессы и поля, теорема Вика.
Закон больших чисел, центральная предельная теорема, принцип больших отклонений для случайных процессов.
Стохастические дифференциальные уравнения. Мультипликативный и аддитивный шум. Диффузия. Перемежаемость. Уравнение Ланжевена
. Дискретные и континуальные произведения случайных матриц. Индексы Ляпунова. Матричные стохастические уравнения с мультипликативным шумом.

Элементы контроля

Problem sheet grade
Seminar test works
Final exam
Oral

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
Итоговая оценика учитывает вещественные числа ∘ S <= [0, 5] – оценка за сдачу листков ∘ C<= [0, 5] – оценка за самостоятельные работы, проводимые на семинарах ∘ E <= [0, 5] – оценка за устный экзамен и вычисляется по формуле min(10, ⌈S+C+E⌉), где ⌈ * ⌉ означает округление вверх. Если перед итоговым экзаменом выполняется условие min(10, ⌈S + C⌉ ≥ 8, то эта отметка по желанию студента может быть поставлена в качестве итоговой без экзамена.

Программа дисциплины