Математические модели и численные методы их реализации

2020/2021

Статус: Факультатив

Кто читает: Департамент математики

Когда читается: 1-4 модуль

Преподаватели: Гордин Владимир Александрович

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 96

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Предполагается рассмотреть широкий круг математических моделей, возникающих в физике, химии, экономике, демографии, биологии и т. д., а также на их стыках. Предполагается обсуждать само построение моделей, их математический анализ, методы численной реализации, методы проверки модели, подгонки ее параметров использование результатов моделирования и т. п. От слушателя предполагается отличное владение курсами линейной алгебры и математического анализа. Предполагается, что слушатели уже знакомы с комплексными числами, основной теоремой алгебры, Виета, Безу, с основами теории дифференциальных уравнений и теории вероятностей. Предполагается, что в ходе курса слушатели это знакомство существенно расширят. Желательно уметь программировать, например, на МАТЛАБе, МАТЕМАТИКЕ, ПИТОНе и т.п., поскольку работа с моделями часто связана с построением графиков, фазовых портретов, гистограмм и т. п. В курсе будет преподаваться МАТЛАБ, однако, знатоки других языков и систем смогут воспользоваться своими знаниями. Будут обсуждаться методы интерполяции и аппроксимации, разностные методы приближенного решения дифференциальных уравнений, на решении которых часто основываются модели. Умение строить максимально информативные графики и умение их анализировать, - важная часть специальности. Наилучший вариант работы в факультативном курсе – начать индивидуальное обсуждение и работу по какой-то математической модели, конкретно интересующей слушателя. Для продвинутых слушателей также возможно участие в работе научного семинара «Дифференциальные уравнения и численные методы». Студенты математических и естественно-научных специальностей смогут расширить свой кругозор, как в применении уже известных им методов к ранее неизвестным им задачам, так и в изучении методов решения конкретных прикладных задач. Полученные компетенции могут быть использованы в курсах дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, уравнений в частных производных, основы функционального анализа, вычислительные методы. Для студентов прочих специальностей задача обучения будет сложнее, поскольку им будут менее привычны подходы и методы точных наук. С другой стороны, если им не учиться, то и не научишься. Полученные компетенции могут быть использованы в специализированных курсах, а главное – в практической работе по специальности. Студенты должны научиться самостоятельно разрабатывать математические модели различных явлений, анализировать их аналитически и численно, определять их надежность, сопоставлять с данными наблюдений, а также использовать уже разработанные модели и также оценивать их надежность.

Цель освоения дисциплины

Слушатель ознакомится с основными методами построения математических моделей различных явлений и процессов и с математическим аппаратом, позволяющим качественно и количественно исследовать решения, полученные с помощью этих моделей. Будут разбираться и теоретические вопросы, и конкретные примеры. Слушатели приобретут навыки компьютерного решения различных задач. Слушатели приобретут навыки графического представления информации и анализа полученных визуализаций. Слушатели существенно расширят знания, полученные в базовом курсе математики.

Планируемые результаты обучения

Студент знает основные математические модели с дискретным временем, умеет объяснить их вывод, границы применимости. Студент умеет составлять и решать аналитически и на компьютере конечно-разностные уравнения. Студент умеет оценивать устойчивость стационарных решений. Студент умеет составлять компьютерные программы для численного исследования различных рекуррентных формул. Студент умеет графически представлять информацию с помощью компьютера.
Студент знаком с математическими моделями, использующими обыкновенные дифференциальные уравнения, в физике, механике, демографии, биологии, экономике и т. д.
Студент умеет строить такие модели, умеет проводить качественные исследования (например, исследование устойчивости стационарных точек и периодических решений)
Студент знает основные качественные методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений
Студент знает и умеет применять самостоятельно компьютерные методы исследования таких уравнений, например, методы Рунге - Кутты
Студент знаком с математическими моделями, использующими дифференциальные уравнения в частных производных и граничные условия для них
Студент умеет строить такие модели, умеет проводить качественные исследования (например, оценивать гладкость решения, рост нормы решения)
Студент знает основные качественные методы исследования, такие как преобразование Фурье и метод Фурье разделения переменных
Студент владеет методикой сплайн-интерполяции и умеет применять метод прогонки
Студент знает и умеет применять самостоятельно компьютерные методы исследования таких уравнений, например, разностные методы интегрирования в эволюционных моделях и итерационные методы решения сеточных уравнений
Студент умеет составлять компактные разностные схемы для различных задач и реализовывать их на компьютере
Студент знает и умеет решать классические задачи вариационного исчисления. Студент умеет выводить уравнение Эйлера и уравнение Якоби для различных интегральных функционалов. Студент умеет выводить граничные условия трансверсальности. Студент умеет применять компьютерные методы поиска оптимальных решений, кривых, траекторий и т. п. Студент знаком с компьютерными методами минимизации интегральных функционалов. Студент умеет реализовывать различные варианты метода наименьших квадратов.

Содержание учебной дисциплины

Модели с дискретным временем. Рекуррентные формулы и конечно-разностные уравнения. Вероятность и ее перераспределение.
1. Геометрическая прогрессия. Последовательность Фибоначчи. История модели. Характеристическое уравнение. Расчет n-го элемента последовательности как решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Формула Бине. Оценка величины решения при больших n. Как зависит поведение решения от начальных условий. Восстановление истории процесса - поведение решения при отрицательных n. 2. Метод Герона извлечения квадратного корня – получение сходящейся последовательности. Какие последовательности могут получаться из рекуррентных формул? Решением задачи может стать не число, а бесконечная последовательность чисел. 3. Общая теория линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами порядка N. Случай простых корней характеристического уравнения. 4. Случай кратных корней. 5. Системы линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами порядка N. Сведение уравнения к системе. Когда обратное сведение невозможно. 6. Модель Лесли для оценки динамики возрастного состава популяции. 7. Обобщения последовательности Фибоначчи (другие формулы рождаемости). 8. Оценка числа вариантов подняться по лестнице, если можно через одну или через две ступеньки и возможные ее обобщения. 9. Комплексные числа и их основные свойства. Экспоненциальная форма комплексных чисел. Формулы де Муавра. Формулы Региомонтана для тригонометрических функций. Многочлены Чебышёва 1-го и 2-го рода. Извлечение корней из комплексных чисел. 10. Основная теорема алгебры и ее доказательство. 11. Умножение и деление многочленов. Линейное пространство многочленов. Интерполяционные многочлены. 12. Изолинии аналитических функций на комплексной плоскости. 13. Метод Герона на комплексной плоскости. Периодические точки. Возможность ухода на бесконечность. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Примеры. Бассейны притяжения для итераций при поиске корней уравнения. Различия в топологии бассейнов при решении квадратного и кубического уравнений на комплексной плоскости. 14. Комплексные корни характеристического уравнения. Устойчивость стационарного решения по Ляпунову. Когда нулевое решение линейных разностных уравнений или систем с постоянными коэффициентами устойчиво к малым возмущениям. 15. Основные понятия теории вероятностей. Решение простейших задач. 16. Марковские цепи. Рост неопределенности в задаче о часах с маловероятной ошибкой. 17. Задача о случайных блужданиях на сетке. Игра с постоянной суммой. Вероятность выигрыша 1-го игрока, если нет ничьей. Случай, когда игроки играют в одинаковую силу. 18. Вероятность, если ничья возможна. 19. Математическое ожидание времени окончания игры.
Модели с непрерывным временем и обыкновенные дифференциальные уравнения.
1. Модель Мальтуса. 2. Модель радиоактивного распада изотопа. 3. Метод разделения переменных для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка специального вида. 4. Пример дифференциального уравнения с гладкой правой частью, для которого решение задачи Коши может существовать лишь конечное время. 5. Общее решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Случаи простых и кратных корней характеристического уравнения. 6. Логистическое дифференциальное уравнение для численности популяции. Фазовый портрет и стационарные точки. 7. Определение устойчивости и неустойчивости стационарных точек дифференциального уравнения или системы. 8. Модель Берталанфи роста организма. 9. Модель фон Гомпертца роста организма. 10. Ряд Ньютона для решения дифференциального уравнения, гладкого в окрестности заданной точки. Ряд Тейлора. Случай одного переменного. 11. Аппроксимация Паде – Эрмита для гладких функций. Ее преимущества по сравнению с рядом Тейлора. Примеры. 12. Удержание веса на канате, перекинутом через бревно, за счет трения. Формула Эйлера. 13. Модель Ланкастера войны двух армий. Первый интеграл задачи. 14. Модель войны двух орд. Два типа фазовых портретов. Почему в одном случае первый интеграл существует, а в другом – нет. 15. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Собственные числа – вот от чего зависит рост решения задачи Коши. 16. Модель химической кинетики. Первый интеграл. Оценка излишка одного из реагентов. 17. Уравнение Лотки – Вольтерры (хищники и жертвы). Стационарные точки. Фазовый портрет. 18. Модель двух популяций, нуждающихся в общем ресурсе. 19. Модель рекламной кампании. 20. Уравнение линейного идеального маятника. 21. Уравнение линейного маятника с трением. Гармоническое воздействие на такой маятник. Явление резонанса – зависимость амплитуды раскачки от частоты форсинга (внешней силы). 22. Уравнение нелинейного идеального маятника. Фазовый портрет.
Оптимизация и вариационное исчисление
1. Непрерывные и гладкие функционалы. Линейный ненулевой функционал не имеет экстремумов. Первая вариация гладкого функционала. 2. Первая вариация интегрального функционала. Уравнение Эйлера. 3. Вариационное согласование информации о координате и скорости автомобиля. 4. Примеры уравнений Эйлера для простейших задач. 5. Граничные условия трансверсальности для вариационных задач. 6. Вариационные задачи со старшими производными, для вектор-функций и для функций нескольких переменных. 7. Принцип наименьшего (стационарного) действия для недиссипативных моделей. 8. Метод множителей Лагранжа для поиска условного экстремума. 9. Функции Лагранжа и согласование наблюдений с дифференциальными уравнениями. 10. Вторая вариация и квадратичные функционалы. Собственные функции. 11. Уравнение Якоби, гипотеза Лежандра и сопряженные точки. 12. Метод градиентного спуска для минимизации функционалов. 13. Метод Понтрягина оптимального управления
Модели для явлений, распределенных в пространстве и времени. Уравнения в частных производных.
1. Вывод уравнения неразрывности. Операторы градиента и дивергенции. 2. Законы Фика и Фурье. Вывод уравнения диффузии и теплопроводности. Физическая интерпретация граничных условий. 3. Явная схема Эйлера для решения уравнения диффузии. Явление неустойчивости схемы. Условие устойчивости. 4. Метод разделения переменных для уравнений Пуассона и теплопроводности. Ряды Фурье. 5. Преобразование Фурье и его свойства. Теорема Планшереля. Теорема об обратном преобразовании. Свертка. 6. Собственные функции преобразования Фурье. 7. Преобразование Фурье для разностных и дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Символ оператора. 8. Преобразование Фурье от рациональных функций без вещественных полюсов. Случаи простых и кратных полюсов. 9. Преобразование Фурье от гауссианы. 10. Метрические и нормированные пространства. Примеры. 11. Основная теорема аппроксимации. 12. Полные пространства. Неподвижная точка сжимающего отображения. Суперсходимость метода Ньютона поиска корней. 13. Гильбертовы пространства и неравенство Коши – Буняковского. 14. Основные и обобщенные функции. Топология (сходимость последовательностей) в пространстве основных функций не метризуема. 15. Дифференцирование обобщенных функций. 16. Дельтообразные последовательности. 17. Фундаментальные решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Элементы контроля

Домашние задания
При выполнении ДЗ можно использовать литературу, но нельзя использовать чужие решения. При ответе на теоретические вопросы плагиат недопустим. Ответ должен быть написан самостоятельно
Зачет
Выполнение задания должно быть полностью самостоятельным.
Экзамен
Работа выполняется полностью самостоятельно.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.4 * Домашние задания + 0.2 * Зачет + 0.4 * Экзамен

Программа дисциплины