2020/2021
Научно-исследовательский семинар "Геометрия и динамика 2"
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
36
Программа дисциплины
Аннотация
Семинар рассчитан на студентов 1-2 курса бакалавриата. Предполагается рассказать слушателям о понятиях, методах и результатах из различных разделов геометрии, динамики и смежных областей, при этом нередко соображения из одной области будут использоваться в работе с объектами другой природы.
Цель освоения дисциплины
- Познакомиться с понятиями различных разделов динамики и геометрии, узнать о некоторых методах исследования динамических систем с привлечением геометрических соображений.
Планируемые результаты обучения
- Знание определений и основных свойств альфа- и омега-предельных множеств. Умение находить эти множества в конкретных простейших ситуациях, а также строить потоки с требуемым предельным поведением траекторий.
- Знание понятия структурной устойчивости. Умение явно доказывать её в простейших случаях (диффеоморфизмы прямой). Умение применять теорему Андронова-Понтрягина для векторных полей на сфере.
- Знание общего понятия метрической энтропии и методов его вычисления (порождающее разбиение). Умение вычислять энтропию для простейших классов систем (марковские цепи и др.)
- Знание базовых свойств полиномиальной динамики в комплексной области. Умение проанализировать локальное поведение в окрестности неподвижной точки.
- Знание определений перекладывания отрезков и индукции Рози. Знание базовых утверждений об основных свойствах типичного перекладывания.
Содержание учебной дисциплины
- Асимптотическое поведение траекторий и структурная устойчивостьАльфа- и омега-предельные множества траектории векторного поля. Теория Пуанкаре-Бендиксона. Структурная устойчивость. Теорема Андронова-Понтрягина
- Перекладывания отрезковПерекладывания отрезков. Индукция Рози как пример динамики в пространстве систем. Минимальность и строгая эргодичность.
- Элементы комплексной динамикиПолиномиальные отображения в комплексной области. Неподвижные точки и периодические орбиты: локальная теория. Множества Жюлиа и Фату. Пространство параметров и множество Мандельброта.
- Энтропия динамических системПонятие (метрической) энтропии динамической системы. Его свойства. Вычисление энтропии для некоторых систем (марковские цепи, гиперболический автоморфизм тора и др.)
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (4 модуль)0.3 * Проверочные работы на занятиях + 0.7 * Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Katok, A. B., & Hasselblatt, B. (2002). Handbook of Dynamical Systems (Vol. 1st ed). Amsterdam: North Holland. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=207259
Рекомендуемая дополнительная литература
- Ильяшенко Ю.С., Яковенко С.Ю. - Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Том 1 - Московский центр непрерывного математического образования - 2013 - 428с. - ISBN: 978-5-4439-0230-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/71818