Научно-исследовательский семинар "Геометрия и динамика 2"

2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Когда читается: 3, 4 модуль

Преподаватели: Клименко Алексей Владимирович, Ольшанский Григорий Иосифович, Скрипченко Александра Сергеевна, Тиморин Владлен Анатольевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 36

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Семинар рассчитан на студентов 1-2 курса бакалавриата. Предполагается рассказать слушателям о понятиях, методах и результатах из различных разделов геометрии, динамики и смежных областей, при этом нередко соображения из одной области будут использоваться в работе с объектами другой природы.

Цель освоения дисциплины

Познакомиться с понятиями различных разделов динамики и геометрии, узнать о некоторых методах исследования динамических систем с привлечением геометрических соображений.

Планируемые результаты обучения

Знание определений и основных свойств альфа- и омега-предельных множеств. Умение находить эти множества в конкретных простейших ситуациях, а также строить потоки с требуемым предельным поведением траекторий.
Знание понятия структурной устойчивости. Умение явно доказывать её в простейших случаях (диффеоморфизмы прямой). Умение применять теорему Андронова-Понтрягина для векторных полей на сфере.
Знание общего понятия метрической энтропии и методов его вычисления (порождающее разбиение). Умение вычислять энтропию для простейших классов систем (марковские цепи и др.)
Знание базовых свойств полиномиальной динамики в комплексной области. Умение проанализировать локальное поведение в окрестности неподвижной точки.
Знание определений перекладывания отрезков и индукции Рози. Знание базовых утверждений об основных свойствах типичного перекладывания.

Содержание учебной дисциплины

Асимптотическое поведение траекторий и структурная устойчивость
Альфа- и омега-предельные множества траектории векторного поля. Теория Пуанкаре-Бендиксона. Структурная устойчивость. Теорема Андронова-Понтрягина
Перекладывания отрезков
Перекладывания отрезков. Индукция Рози как пример динамики в пространстве систем. Минимальность и строгая эргодичность.
Элементы комплексной динамики
Полиномиальные отображения в комплексной области. Неподвижные точки и периодические орбиты: локальная теория. Множества Жюлиа и Фату. Пространство параметров и множество Мандельброта.
Энтропия динамических систем
Понятие (метрической) энтропии динамической системы. Его свойства. Вычисление энтропии для некоторых систем (марковские цепи, гиперболический автоморфизм тора и др.)

Элементы контроля

Проверочные работы на занятиях
Экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.3 * Проверочные работы на занятиях + 0.7 * Экзамен

Программа дисциплины