Математические основы квантовой механики

2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Преподаватели: Пятов Павел Николаевич, Сапонов Павел Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Данный курс представляет собой введение в квантовую механику для студентов-математиков, не требующее серьёзной базы физических знаний. Квантовая механика является важнейшим инструментом для исследования явлений микромира и в настоящее время входит в обязательный образовательный минимум физиков-теоретиков и специалистов по математической физике. Модели квантовой механики послужили и продолжают служить источником вдохновения в открытии множества общезначимых и красивых конструкций и методов современной математики: в теории представлений групп и алгебр Ли, в функциональном анализе, в деформационном и геометрическом квантовании, теории квантовых групп и других. Курс рассчитан на студентов 3–4 года бакалавриата и магистрантов, не имеющих физического образования. Специальных знаний по физике не требуется, хотя знакомство с механикой и классической теорией поля облегчит восприятие материала. Математическая подготовка в объеме базовых курсов 1-го и 2-го года бакалавриата вполне достаточна: требуется владение основами алгебры, анализа и теории дифференциальных уравнений. Потребуются также первичные знания по теории представлений алгебр Ли, обобщенных функций, функционального анализа, статистики и теории вероятностей, которые, впрочем, будут вводиться на лекциях.

Цель освоения дисциплины

Цель нашего курса—познакомить студентов-математиков с основными идеями и принципами квантовой механики и ее математическим аппаратом с иллюстрацией на достаточно простых и фундаментальных моделях.

Планируемые результаты обучения

Имеет представление о физических основаниях квантовой механики, понимает взаимоотношения квантовой механики с классическими механикой и теорией поля.
Понимает статистический смысл основных операций и объектов пространства состояний: скалярных произведений, спектра наблюдаемых и т.п. Умеет находить распределения вероятностей измерений различных наблюдаемых в простых моделях и рассчитывать эволюцию состояния.
Умеет строить пространство состояний гармонического осциллятора, находить его спектр и собственные вектора.
Умеет строить обобщенные собственные векторы, отвечающие непрерывному спектру операторов координаты и импульса, вычислять плотность амплитуды вероятности распределения координаты и значений импульса в чистых состояниях квантовой системы. Умеет находить спектр связанных состояний в одномерной потенциальной яме.
Умеет находить вероятности перехода из заданного начального состояния системы в конечное в процессе измерения полного набора наблюдаемых.
Владеет математическим аппаратом квантовой механики, включая базовые понятия и технику теории обобщенных функций, гильбертовых пространств, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений в частных производных. Умеет строить собственные функции гамильтониана атома водорода в сферических координатах.
Умеет строить конечномерные унитарные представления алгебры Ли su(2), находить спектр оператора квадрата углового момента и компонент углового момента.
Владеет математическим аппаратом квантовой механики, включая базовые понятия и технику теории обобщенных функций, гильбертовых пространств, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений в частных производных, теории возмущений, теории представлений и функционального интегрирования.
Умеет строить представления симметрической группы, отвечающие различным диаграммам Юнга, находит состояния системы тождественных частиц с заданными свойствами.
Владеет навыками самостоятельного квантования простых моделей нерелятивистской классической механики.

Содержание учебной дисциплины

Недостаточность классического описания явлений микромира
Обзор основных физических фактов и экспериментов, показавших неприменимость законов классической физики к явлениям микромира: спектр излучения черного тела, фотоэффект, рассеяние света электронами, прохождение электронов через экран с двумя щелями, планетарная модель атома Резерфорда, линейчатый спектр излучения водорода.
Основные постулаты канонического (операторного) квантования.
Приводится список основных постулатов квантования механической системы, заданной в гамильтоновм формализме. Канонические скобки Пуассона, алгебра наблюдаемых, различные представления алгебры в гильбертовом пространстве состояний, статистическая интерпретация, динамический принцип в подходе Шредингера и Гейзенберга.
Квантование гармонического осциллятора
Построение квантовой теории одномерного гармонического осциллятора в пространстве Фока и координатном представлении в пространстве квадратично интегрируемых функций L_2(R). Спектр, операторы рождения и уничтожения, полиномы Эрмита, когерентные состояния.
Оснащенное гильбертово пространство, свободная частица, общие свойства одномерного движения.
Разбирается вопрос о непрерывном спектре неограниченных операторов, теория линейных непрерывных функционалов на пространствах Шварца и финитных функций. Вводятся обобщенные собственные вектора операторов координаты и импульса. Свободная частица. Одномерное движение: частица в потенциальной яме, отражение от барьера, прохождение через барьер (туннельный эффект).
Полный набор наблюдаемых и проблема измерения
Вводится понятие полного набора коммутирующих наблюдаемых, одновременное измерение которых фиксирует чистое состояние системы. Количество наблюдаемых в полном наборе --- квантовый аналог числа степеней свободы. Изменение состояния системы при измерении -- редукция волнового пакета. Смешанные состояния и матрица плотности.
Трехмерное движение в центральном поле
Частица в центральном поле. Момент импульса. Квантовая модель атома водорода: спектр, собственные состояния. Сферические функции и полиномы Лаггера.
Общая теория углового момента
Алгебра углового момента --- алгебра su(2). Конечномерные представления с целым и полуцелым значением углового момента. Спин элементарных частиц.
Симметрии квантовых систем и законы сохранения
Группа симметрий квантовой системы и ее представления в пространстве состояний. Собственные вектора гамильтониана и учет симметрий: вырождение спектра.
Квантовая теория тождественных частиц.
Симметрическая группа и квантовая теория тождественных частиц. Статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. Связь спина со статистикой, принцип запрета Паули. Строение атомных оболочек и таблица Менделеева.
Интегрируемые модели квантовой механики.
Понятие об интегрируемости квантовой системы на примере спиновой цепочки Гейзенберга. Алгебраический анзац Бете.

Элементы контроля

Самостоятельное решение листков с задачами и сдача их преподавателю
Устный ответ на эзамене. Билет содержит 2 вопроса по теориии и одну задачу.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Если накопленная оценка НАКОП превышает 8 баллов (до округления), то студент получает автомат с этой оценкой. В противном случае студент сдает устный экзамен и итоговая оценка за курс вычисляется по формуле 0б*НАКОП+0,4*ЭКЗАМЕН.

Программа дисциплины