2020/2021

Группы Ли-2

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3 модуль

Преподаватели: Хорошкин Сергей Михайлович

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 44

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящен вещественным (некомпактным) полупростым группам Ли. Теория бесконечно-мерных представлений вещественных групп, включая разбор основной неунитарной серии и сплетающих операторов на ней, будет подробно разобрана на примере группы SL(2,R) и SL(2,C). Структура и геометрия вещественных групп будет разобрана в рамках дифференциально-геометрической теории симметрических пространств. В качестве приложений будет показано, как классические интегрируемые системы и специальные функции возникают в рамках теории представлений вещественных групп.

Цель освоения дисциплины

• Цель курса - знакомство с теорией представлений вещественых полупростых групп Ли, в частности, с ее аналитическими и геометрическими аспектами, включая естественное возникновение обобщенных функций и симметрических пространств

Планируемые результаты обучения

• Знать описание пространства L_2(G) через матричные элементы. Уметь получать многочлены Лежандра и уравнения на них через теорию представлений группы SU(2)
• Уметь описывать оcновную серию представлений групп SL(2,R) и SL(2,C). Уметь выводить формулы сплетающих операторов, описывать неприводимые и унитаризуемые представления, представления дискретной серии
• Уметь описывать вещественные формы полупростой комплексной группы Ли. Знвть определения симметрических пространств компактного и некомпактного типа. Уметь выводить двойственность между различными типами. Уметь пользоваться разложениями Ивасава и Картана простой вещественной группы Ли

Содержание учебной дисциплины

• Матричные элементы компактных групп
  Описание пространства L_2 (G) через матричные коэффициенты. Матричные коэффициенты SU(2). Гармонический анализ на сфере. Полиномы Якоби и Лежандра
• Основная серия групп SL(2,R) и SL(2,C)
  Основная серия представлений групп SL(2,R) и SL(2,C). Сплетающие операторы. Унитарные представления. Представления дискретной серии
• Вещественные редуктивные группы и симметрические пространства
  Вещественные формы комплексной полупростой группы Ли. Разложения Картана и Ивасава. Симметрические пространства. Дуальность между компактными и некомпактными симметрическими пространствами.

Элементы контроля

• домашние задагия и выступления на семинаре
• экзамен по материалам курса

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (3 модуль)
  0.7 * домашние задагия и выступления на семинаре + 0.3 * экзамен по материалам курса

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Хелгасон, С., 2005
• Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений, Гельфанд, И. М., 1962
• Компактные группы Ли и их представления, Желобенко, Д. П., 2007

Рекомендуемая дополнительная литература

• Специальные функции и теория представлений групп, Виленкин, Н. Я., 1965