2020/2021

Алгебры Ли-2

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 4 модуль

Преподаватели: Галкин Сергей Сергеевич, Хорошкин Антон Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 28

Программа дисциплины

Аннотация

Это вторая часть двухмодульного блока курсов «Группы и алгебры Ли 2», посвящённая классификации алгебр Ли и их представлений. В частности, мы опишем неприводимые комплексные представления разрешимых и полупростых алгебр Ли, изучим комбинаторику систем корней и групп Вейля, связанных с простыми алгебрами Ли. Классификация конечномерных представлений комплексных алгебр Ли является одним из красивейших приложений линейной алгебры и служит ключевым инструментом в очень многих областях математики.

Цель освоения дисциплины

• Цель курса состоит в освоении структурных теорем о строении конечномерных алгебрах Ли их комплексных представлениях. В частности, ознакомиться с разложением Леви и классификацией неприводимых конечномерных представлений разрешимых и классических простых алгебр Ли.

Планируемые результаты обучения

• Студенты должны будут выучить понятия разрешимых и нильпотентных алгебр Ли
• Студенты должны будут выучить понятия разрешимых, нильпотентных и полупростых алгебр Ли
• Студенты должны будут выучить понятия полупростых алгебрах Ли
• Студенты должны будут выучить понятия группы Вейля, системы весов и корней, связанных с простой алгеброй Ли, а также узнать классификацию простых алгебр Ли
• Студенты выучат формулу Вейля для характеров неприводимых представлений классических алгебр Ли

Содержание учебной дисциплины

• Абелевы, нильпотентные и разрешимые алгебры Ли, Теорема Энгеля.
• Разложение Леви
• Полупростые алгебры Ли и полная приводимость
  Форма Киллинга и инвариантные формы, критерий Картана, операторы Казимира
• Корни, веса, группа Вейля и диаграммы Дынкина
• Формулы Вейля для характеров представлений

Элементы контроля

• домашние задания и контрольные
• письменный экзамен

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  min(10,0.6 *домашние задания + 0.6*экзамен).

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Желобенко Д.П. - Компактные группы Ли и их представления - Московский центр непрерывного математического образования - 2007 - 552с. - ISBN: 978-5-94057-302-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9335
• Задачи семинара "Алгебры Ли и их приложения" : сб., Парамонова, И. М., 2004
• Парамонова И.М., Шейнман О.К. - Задачи семинара "Алгебры Ли и их приложения" - Московский центр непрерывного математического образования - 2004 - 48с. - ISBN: 5-94057-139-5 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9383

Рекомендуемая дополнительная литература

• Компактные группы Ли и их представления, Желобенко, Д. П., 2007