Магистратура
2021/2022
Статистические методы, хаос и параметры порядка
Статус:
Курс по выбору (Системный анализ и математические технологии)
Направление:
01.04.04. Прикладная математика
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
1-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Будков Юрий Алексеевич
Прогр. обучения:
Системный анализ и математические технологии
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
80
Программа дисциплины
Аннотация
В последние десятилетия статистические методы, развитые изначально в механике, нашли широкое применение в целом ряде областей науки, как смежных с физикой (биофизика, химическая физика, астрофизика и космология), так и на, первый взгляд, далеких от нее (теория вероятностей, компьютерные науки, количественная география, науки об обществе). Идеи статистического описания, связывающего крупномасштабное коллективное поведение систем с простыми микроскопическими свойствами их элементов, оказывается чрезвычайно плодотворной, в частности, для понимания ряда задач компьютерных наук, таких как теория алгоритмов, задачи перечисления объектов, вычислительные задачи на решетках и больших случайных графах. Курс сочетает обсуждение базовых принципов и понятий статистической теории, таких как равновесие, энтропия, температура, фазовые переходы, самоподобие, параметры порядка, лежащих на стыке теоретической механики и теории вероятностей, с разбором широкого круга конкретных прикладных задач, иллюстрирующих применение этих базовых принципов. В курсе рассматриваются: • теория случайных блужданий как простейший пример возникновения коллективного поведения и самоподобия в статистических системах; • основы равновесной статистики: понятие о равновесии, температуре, распределении Гиббса, статистической сумме; • понятие энтропии, его механический и теоретико-вероятностный смысл, принцип роста энтропии; • фазовые переходы, теория перколяции, понятие о геометрических фазовых переходах, параметры порядка, масштабирование (скейлинг), критические индексы; • системы случайных логических уравнений, переход совместность-несовместность, особенности поведения вблизи точки перехода; • неравновесные марковские процессы, кинетическое уравнение, применение к задачам трафика (однополосного дорожного движения), понятие о фазовых переходах в неравновесных системах; • случайные сети, формирование гигантского кластера в случайных сетях, тесные миры, динамические модели сетей (преимущественное присоединение), динамические процессы на сетях (распространение сигналов, эпидемий); Курс в большой степени основан на недавнем учебнике: Дж. Сетна "Статистическая механика: энтропия, параметры порядка, теория сложности" (Корнельский университет, США), на курсе С.Реднера в Бостонском университете и курсе "Statistical Mechanics: Algorithms and Computations", читаемом в Эколь Нормаль в Париже.