Дополнительные главы математического анализа

2022/2023

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Майнор

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Гордин Владимир Александрович, Шемендюк Александр Андреевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 90

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Алгебраические уравнения встречаются на каждом шагу. Примеров рассмотрим много. Но не каждое такое уравнение имеет вещественное решение, например, x^2+1=0. А вот комплексных решений у уравнения P_n(x)=0 c учетом их возможной кратности существует ровно n, где n – степень уравнения. Это утверждает Основная теорема алгебры. Если n≤4, то корни находятся по известным формулам, которые используют четыре арифметических действия и извлечение корней. Для уравнений более высокой степени такой общей формулы не существует и не может существовать, - это следует из теории Эвариста Галуа. Зато можно эти корни найти с любой точностью на компьютере, - постепенно к ним приближаясь. Простейший вариант – решение квадратного уравнения методом Герона Александрийского (метод, кстати, старше самого Герона не менее, чем на пять веков). Алгебраическими уравнениями дело не ограничится, будем решать методом Ньютона уравнения более общего вида – уметь бы вычислять функцию и ее первую производную, а остальное быстро сделает компьютер. Если начать приближаться к решению с небольшого расстояния, то очень быстро погрешность станет исключительно маленькой. А вот если издалека – тут возможны различные эффекты. Например, исключительной красоты фракталы – на компьютере их получим сами. Затем научимся решать и системы уравнений с несколькими неизвестными. Для этого потребуются матрицы Якоби. Нужно будет находить решения уравнений и систем, зависящие от параметров. Мы изучим методы интерполяции – как по значениям функции в дискретные моменты времени приближенно оценить ее значения в промежуточные моменты. Если эти значения известны с некоторой погрешностью (шумом), то к какой погрешности это приведет у проинтерполированной функции (иногда такие последствия бывают катастрофическими). Сплайны оказываются намного «устойчивее» к шумам, чем многочлены. Мы рассмотрим различные динамические системы, которые изменяются «по шагам», т.е. с дискретным временем. Размножение популяций с учетом специфики рождаемости и смертности для возрастов. Конечно-разностные уравнения позволяют производить оценки и расчеты. А заодно можно оценивать результаты случайных блужданий по сеткам и решеткам или вероятности выигрыша в игре с постоянной суммой. Помимо решения уравнений матанализ помогает находить экстремумы функций, в том числе и зависящих от многих переменных. Мы выясним, какие бывают «типичные» минимумы и максимумы, что значит «типичный», и насколько редко встречаются нетипичные. И как искать экстремум не среди всех значений параметров, а только среди тех, которые удовлетворяют дополнительным условиям – метод множителей Лагранжа весьма эффективен. А что можно сказать о функции, если известны ее несколько производных в одной точке? Ряд Тейлора иногда весьма хорош, но он имеет некоторые препятствия к сходимости в больших областях. А вот рациональные аппроксимации, придуманные Эрмитом и Паде в конце XIXв часто оказываются намного эффективнее, причем в самых неожиданных приложениях. Мы изучим общие свойства поверхностей и векторных полей, научимся вычислять циркуляцию, дивергенцию и т.п. Оказывается, что свойства векторных полей и дифференциальных форм на поверхностях или в областях могут быть удивительным образом связаны с топологией этих геометрических объектов. Например, с количеством дырок в головке сыра. Расстояния между числами и векторами мы умеем вычислять – теорема Пифагора помогает. Причем не только в R^2 и R^3, но и в пространствах большой или даже бесконечной размерности. Оказывается, такие объекты очень полезны и для обработки больших массивов информации, и для изучения процессов в сложных системах. Мы рассмотрим весьма общие объекты, между которыми можно и полезно вычислять расстояние. Например, расстояние между словами, между кривыми или между функциями. Мы обсудим аналитические и приближенные методы вычисления интегралов. Оказывается, что и тут выход в комплексную область оказывается эффективным. В компьютерных алгоритмах будем интересоваться зависимостью погрешности от числа арифметических операций – алгоритмы должны быть эффективными.

Цель освоения дисциплины

Показать на многочисленных примерах эффективность применения методов математического анализа и линейной алгебры, изученного студентами на 1 курсе.
Расширить круг этих методов, включив в доступный слушателям майнора математический и вычислительный аппарат функции (скалярные и векторные) многих переменных, а также дифференциальные операторы на них действующие; теорию функций комплексного переменного, теорию интерполяции и аппроксимации функций (работа с большими массивами числовой информации), применение теории разностных уравнений для описания различных явлений: эволюция численности популяций, теория игр, задачи о случайных блужданиях, комбинаторные задачи.
Выучить методы программной реализации предложенных алгоритмов. Решение задачи должно начинаться с построения математической модели, затем строится алгоритм численной (часто компьютерной) реализации и написание кода. На семинарах будет уделено внимание эффективности написания кодов и их отладки. Важную роль в профессиональной работе играет работа с графиками: их анализ, проверка правильности и эффективности алгоритма и качественные выводы из графиков. Речь идет как о работе со стандартными пакетами программ, так и об их самостоятельном написании.
Подготовить слушателей к следующим курсам майнора

Планируемые результаты обучения

Владеет основными понятиями теории метрических пространств, сходимости, непрерывных отображений. Знает различные примеры метрических пространств. Умеет доказывать теорему о существовании и единственности сжимающего отображения в полном метрическом пространстве и применять ее к конкретным примерам, в том числе с помощью программных кодов.
Знает основные свойства линейных конечно-разностных уравнений и систем произвольного порядка. Умеет по корням характеристического уравнения определить асимптотику решения на бесконечности. Умеет программно реализовать модели, основанные на решении линейных и нелинейных конечно-разностных систем.
Знает основные свойства линейных нормированных пространств. Умеет доказывать основную теорему аппроксимации. Знает основные свойства гильбертовых пространств. Умеет доказывать неравенства Гельдера и Минковского. Умеет построить ортогональный базис в пространстве функций. Умеет сформулировать лемму вложения Соболева.
Знает простейшие типы вырожденных критических точек. Владеет понятием свойства системы, выполняющегося в общем положении и понятием коразмерности вырождения.
Понимает условия существования рациональной аппроксимации Паде – Эрмита. Умеет программно реализовать алгоритм построения коэффициентов аппроксимирующей рациональной функции. Умеет построить на комплексной плоскости изолинии погрешности аппроксимации Паде - Эрмита.
Умеет доказывать основную теорему алгебры и теорему Безу. Умеет по корням многочлена восстанавливать его коэффициенты. Умеет написать код программы, реализующий метод Герона.
Умеет оценивать невырожденность трехдиагональной матрицы с помощью теоремы Гершгорина. Может программно реализовать алгоритм метода прогонки.
Умеет оценить область гарантированной сходимости метода Ньютона. Умеет написать код для метода Ньютона. Умеет построить фрактальную картину на комплексной плоскости бассейнов притяжения для решения алгебраического уравнения методом Ньютона.
Умеет по матрице Гессе определить тип критической точки гладкой функции нескольких переменных. Умеет написать код для поиска корней системы уравнений методом Ньютона – Рафсона.
Умеет программно реализовать алгоритм построения интерполяционного многочлена и оценить константу Лебега (усиление амплитуды шумов при интерполяции с данной сетки).
Умеет программно реализовать алгоритмы оценки вероятности выигрыша, предельное поведение марковской цепи и скорость ее выхода на стационар. Умеет объяснить связь между случайным блужданием на решетке и решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Умеет программно реализовать компактные алгоритмы приближенного вычисления с высоким порядком точности производных и в точках самой сетки, и в промежуточных точках, а также решение задачи интерполяции. Умеет оценивать обратимость соответствующих матриц.
Умеет программно реализовывать различные квадратурные формулы для одномерных определенных интегралов. Понимает значение оптимизации расположения узлов квадратурной формулы.
Умеет строить собственные базисы для дифференциальных операторов с постоянными и кусочно-постоянными коэффициентами при разных вариантах граничных условий. Умеет раскладывать функции по собственным базисам (в ряды Фурье). Умеет реализовывать такие разложения с помощью программных кодов.
Умеет строить функцию Лагранжа для различных вариантов ограничений и определять точки ее вырождения.

Содержание учебной дисциплины

Корни многочленов.
Итерационные методы поиска корней и бассейны притяжения
Функции нескольких переменных
Условные экстремумы
Стационарные точки и общее положение
Дифференциальные формы и теорема Стокса
Метрические пространства
Пространства функций
Собственные функции и их приложения
Конечно-разностные уравнения и системы
Случайные блуждания и игры
Интерполяция и устойчивость к шумам
Сплайны
Ряды Тейлора и аппроксимация Паде
Компактные разностные схемы
Квадратурные формулы
Введение в комплексный анализ

Элементы контроля

Домашнее задание
Домашнее задание включает несколько задач, которые требуют и аналитических усилий, и программирования, отладки программ и анализа результатов.
Контрольная работа
Экзамен

Промежуточная аттестация

2022/2023 учебный год 2 модуль
0.4 * Экзамен + 0.4 * Домашнее задание + 0.2 * Контрольная работа

Список литературы

Авторы

Гордин Владимир Александрович

Программа дисциплины