2022/2023

Основы теории систем и систем управления

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Майнор

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Преснова Анна Павловна

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 32

Программа дисциплины

Аннотация

Данный раздел предназначен для формирования знаний, умений и навыков в области моделирования медико-биологических систем, в том числе систем с управлением. Построение моделей и оптимизация - основные направления междисциплинарных работ, дающие возможность надежного описания систем и процессов в медицине. Рассматриваются основы построения и исследования моделей систем, а также математические методы построения систем управления объектами и процессами на примерах из биологии и медицины. Математическое моделирование процессов и объектов проводится в пакете MATLAB Simulink.

Цель освоения дисциплины

• Формирование знаний, умений и навыков в области моделирования медико-биологических систем, в том числе систем с управлением

Планируемые результаты обучения

• Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Фазовые переменные. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Аналитический метод определения устойчивости. Графический метод определения устойчивости.
• Использование пакета MATLAB Simulink. Анализ динамики переменных в модели развития рака и сахарного диабета, модели иммунной системы человека при ВИЧ. Эпидемиологические модели.
• Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Исследование нелинейных систем второго порядка. Модель Лотки. Модель Вольтерра.
• Мультистационарные системы. Триггер. Силовое и параметрическое переключение триггера. Конкуренция. Отбор одного из двух равноправных видов.
• Непрерывные и дискретные модели роста популяций, описываемые одним уравнением. Уравнение Ферхюльста. Модель Мальтуса. Непрерывная модель логистического роста. Модель с нижней критической границей численности популяции. Дискретная модель логистического роста. Использование пакета MATLAB Simulink для визуализации динамики моделей. Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Бифуркация удвоения периода. Хаос. Лестница Ламерея.
• Основные понятия теории динамических систем. Предельные множества. Пространственно-временные агентные модели взаимодействия видов.
• Понятие автоколебаний. Предельные циклы. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний.
• Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Устойчивость по Ляпунову. Характеристическое уравнение. Собственные числа. Собственные вектора. Метод изоклин. Типы особых точек. Бифуркационная диаграмма.

Содержание учебной дисциплины

• Введение. Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка.
• Модели роста популяций.
• Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.
• Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка.
• Мультистационарные системы.
• Колебания в биологических системах.
• Динамический хаос. Модели биологических сообществ. Модели взаимодействия видов.
• Математическое моделирование в медицине.

Элементы контроля

• Домашнее задание
  Домашнее задание выдается индивидуально или группе студентов (2-3 чел.). С целью текущего контроля успеваемости предусмотрена защита домашнего задания.
• Экзамен
• Контрольная работа

Промежуточная аттестация

• 2022/2023 учебный год 2 модуль
  0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Домашнее задание + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Алгоритмическое конструирование систем управления с неполной информацией : учеб. пособие, Афанасьев, В. Н., 1985
• Вся высшая математика. Т.3: Теория рядов; Обыкновенные дифференциальные уравнения; Теория устойчивости, Краснов, М. Л., 2005
• Математическая теория конструирования систем управления : учебник для вузов, Афанасьев, В. Н., 2003

Рекомендуемая дополнительная литература

• Дифференциальные уравнения : учебник, Эльсгольц, Л. Э., 2006

Авторы

• Преснова Анна Павловна