2023/2024
Графы и топология
Статус:
Майнор
Кто читает:
Кафедра фундаментальной математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Сафонов Клим Андреевич
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
80
Программа дисциплины
Аннотация
Курс посвящен детальному знакомству с классическими конструкциями и объектами комбинаторной и дифференциальной топологии, которые широко применяются в качественной теории динамических систем. Теория графов, включенная в курс, играет двоякую роль. Во-первых, изучение топологических и гомотопических свойств графов является иллюстрацией многих явлений и фактов общей и гомотопической топологии. Во-вторых, в курсе показывается, как при помощи графов описывается динамика регулярных процессов. Курс не концентрируется на конкретной прикладной области, в которой графы и фракталы служат языком математического описания. Вместо этого, создается общая теоретическая база, необходимая или полезная для всех практических приложений.
Цель освоения дисциплины
- Цель курса: освоение геометрических и топологических концепций, используемых в естествознании и в математических моделях социальных процессов.
Планируемые результаты обучения
- В результате освоения дисциплины студент должен знать основные понятия тех разделов математики, которые включены в программу; уметь решать базовые задачи по каждому разделу; уверенно пользоваться математическим языком, владеть терминологией по каждому разделу; приобрести опыт устного и письменного изложения математических рассуждений.
- В результате освоения дисциплины студент должен знать основные понятия тех разделов математики, которые включены в программу; уметь решать базовые задачи по каждому разделу; уверенно пользоваться математическим языком, владеть терминологией по каждому разделу; приобрести опыт устного и письменного изложения математических рассуждений.
- Студент владеет терминологией, умеет изображать фазовый портреты простейших динамических систем, различает топологически неэквивалентные динамические системы.
Содержание учебной дисциплины
- Определение графов, их типы, приложения и простейшие свойства. Примеры из практики. Таблицы смежности и таблицы инцидентности.
- Связные графы. Порождающее дерево. Эйлеровы пути и гамильтоновы циклы. Мосты Кенигсберга.
- Классификация, инварианты и перечисление графов.
- Плоские графы, препятствия к планарности, инварианты пространственных графов.
- Двудольные графы. Теорема Холла.
- Фундаментальная группа, классификация двумерных поверхностей, гомологии. Эйлерова характеристика.
- Индекс зацепления замкнутых кривых.
- 10. Теоремы о неподвижных точках. Теорема о причесывании ежа. Основная теорема алгебры.
- Графы как топологические инварианты структурно-устойчивых динамических систем на многообразиях.
- Вводные понятия топологии
Промежуточная аттестация
- 2023/2024 учебный год 4 модуль0.5 * Домашняя контрольная работа + 0.5 * Домашняя контрольная работа
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Введение в топологическую классификацию каскадов на многообразиях размерности два и три, 423 с., Гринес, В. З., Починка, О. В., 2011
- Геометрическая теория динамических систем : введение : вводные курсы, Палис, Ж., 1986
- Звонкин, А. К. Графы на поверхностях и их приложения / А. К. Звонкин, С. К. Ландо. — Москва : МЦНМО, 2010. — 480 с. — ISBN 978-5-94057-588-7. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9342 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
Рекомендуемая дополнительная литература
- Прасолов, В. В. Наглядная топология : учебное пособие / В. В. Прасолов. — 3-е изд. — Москва : МЦНМО, 2014. — 112 с. — ISBN 978-5-4439-2055-9. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56410 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.