2023/2024
Начала функционального анализа и оптимизация
Статус:
Майнор
Кто читает:
Департамент математики
Где читается:
Факультет экономических наук
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
80
Программа дисциплины
Аннотация
Почти три тысячи лет назад принцесса из Тира, Дидона обманула царя максиев – купила землю, которая уместится в шкуре быка, а затем из этой шкуры сделали тонкий ремешок и обтянули заметный кусок берега, на котором потом построили Карфаген. Но, помимо исторических последствий содеянного, осталась задача: какую форму нужно придать ремешку заданной длины, чтобы окружить наибольшую площадь. Ответ: если берег моря ровный, то это полуокружность. Настолько большого радиуса, насколько позволит длина ремешка. А как это доказать? А если берег моря не ровный? А если качество (и продажная стоимость) земли не постоянны? Какая тогда должна быть форма области внутри ремешка? Во многих случаях оптимизацию проводит не человек, а сама природа. Тяжелая цепь заданной длины, подвешенная за концы, выбирает форму, минимизирующую потенциальную энергию, луч, идущий в оптически неоднородной среде из точки А в точку Б, минимизирует не пройденный путь, а потраченное на путь время (в неоднородной среде это не одно и то же). Отсюда следуют законы Снеллиуса преломления луча при переходе через границу сред. Из-за рефракции можно видеть миражи. И Солнце, спустя целую минуту после его фактического захода за линию горизонта. В курсе мы обсудим, когда разгонять поезд, а когда тормозить, чтобы прибыть на следующую станцию как можно быстрее. Или как наилучшим образом согласовать полученную из GPS и спидометра информацию о движении автомобиля. Ведь они не абсолютно согласованы между собой - каждый измерительный прибор имеет свою ошибку измерения. Таким образом, вместо минимума функций одного или нескольких переменных, о поисках которого шла речь в первом курсе майнора, здесь в качестве аргумента минимизируемого функционала рассматриваются, функции, кривые, стратегии, поверхности и т.п. бесконечномерные объекты. Во многих случаях такую проблему минимизации удается свести к решению краевой задачи для дифференциального уравнения или системы. Будут рассматриваться как аналитические методы решения, так и численные алгоритмы. Например, варианты метода градиентного спуска.