Бакалавриат
2022/2023
Геометрия
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
11
Контактные часы:
222
Программа дисциплины
Аннотация
Освоение дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» является необходимым пререквизитом для большинства курсов, читаемых на факультете математики. В первую очередь к ним относятся курсы алгебры и анализа второго года обучения, анализ на многообразиях и функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теория представлений, алгебраическая и дифференциальная топология, алгебраическая и дифференциальная геометрия и целый ряд других фундаментальных и прикладных курсов.
Цель освоения дисциплины
- Целью изучения дисциплины является освоение основ линейной и матричной алгебры, их вычислительных и теоретических методов, а также воспитание геометрической интуиции и приобретение опыта работы с геометрическими фигурами в многомерных евклидовых, аффинных и проективных пространствах, в эллиптических пространствах и пространствах Лобачевского.
Планируемые результаты обучения
- Умение решать задачи на взаимное расположение прямых и точек в двумерном аффинном пространстве, решать системы линейных уравнений размера 2x2 по правилу Крамера, пользоваться барицентрическими координатами и центрами тяжести
Содержание учебной дисциплины
- Векторное пространство k^2
- Евклидова плоскость = комплексная прямая.
- Линейные и аффинные преобразования плоскости, дифференциал аффинного преобразования.
- Определение и примеры векторных пространств.
- Подпространства.
- Линейные отображения, размерность ядра и образа, непустые слои являются сдвигами ядра.
- Матричная запись и различные геометрические интерпретации систем линейных уравнений и их решений.
- Двойственное пространство, примеры линейных форм на различных пространствах.
- Объём ориентированного параллелепипеда, полилинейные кососимметричные и знакопеременные формы, пространство кососимметричных $n$-лилинейных форм на $n$-мерном пространстве одномерно.
- Евклидовы пространства.
- Ортогональные преобразования и движения, описание движений плоскости и трёхмерного пространства.
- Собственные векторы и собственные подпространства линейных операторов.
- Одновременная диагонализация произвольного множества коммутирующих операторов, общие собственные векторы коммутирующих операторов.
- Билинейные формы, их корреляции и матрицы Грама, преобразование матрицы Грама при замене базиса.
- Ортогонализация симметричной билинейной формы над произвольным полем, специализации над полями R, C и F(p).
- Кососимметричные билинейные формы.
- Проективные пространства и проективизация, однородные координаты, аффинные карты и локальные аффинные координаты.
- Симметрическая агебра векторного пространства и задание фигур однородными уравнениями, проективное замыкание аффинной гиперповерхности.
- Группа PGL(V).
- Геометрия гладких проективных квадрик.
- Пространство квадрик, гладкие точки и касательное пространство к гиперповерхности особых квадрик, пучки квадрик, коранг особой квадрики пучка не меньше кратности соответствующего корня характеристического многочлена.
- Конформная теория коник на евклидовой плоскости.
- Аффинные пространства.
- Выпуклая геометрия в R^n.
- Евклидова геометрия квадрик в R^n.
- Эллиптическое пространство E = P(V).
- Пространство Лобачевского L⊂ P(V)$, где V — вещественное векторное пространство с невырожденной квадратичной формой сигнатуры (1, n), состоит из точек с положительным скалярным квадратом.
- Конформная модель гиперболического пространства в шаре.
- Геометрия кватернионов, понимаемых как комплексные матрицы 2x2, инвариантные относительно вещественной структуры, переводящей стандартную эрмитову форму на пространстве матриц в поляризацию квадратичной формы det.
Промежуточная аттестация
- 2022/2023 учебный год 2 модуль0.5 * коллоквиум + 0.5 * КР 1
- 2022/2023 учебный год 4 модуль1 * КР 1
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Городенцев, А. Л. Алгебра. Учебник для студентов-математиков : учебное пособие / А. Л. Городенцев. — Москва : МЦНМО, [б. г.]. — Часть 1 — 2014. — 485 с. — ISBN 978-5-4439-2087-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56398 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
Рекомендуемая дополнительная литература
- Винберг, Э. Б. Курс алгебры : учебник / Э. Б. Винберг. — 2-е изд. — Москва : МЦНМО, 2013. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-2013-9. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56396 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.