• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2022/2023

Математический анализ

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)
Направление: 01.03.01. Математика
Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 11
Контактные часы: 260

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящен основам классического математического анализа (вещественные числа, множества вещественных чисел, последовательности и их пределы, функции вещественного переменного, пределы, производные, графики, формула Тейлора, функции нескольких переменных, дифференциалы отображений, числовые, степенные и функциональные ряды, интегралы и приложения интегрального исчисления, теорема о неявной функции и ее приложения, условный экстремум функций многих переменных).
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Изучение теоретических основ математического анализа, необходимых для дальнейшего продвижения во всех аналитических дисциплинах в процессе обучения на факультете.
  • Приобретение необходимых навыков для решения вычислительных задач.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Доказательство теоремы о неявной функции. Теорема об обратном отображении.
  • Знание двух методов суммирования расходящихся рядов: по Абелю и по Пуассону.
  • Знание леммы Адамара и леммы Морса.
  • Знание определений (частные производные, градиент, якобиан, производная по направлению) и простейших свойств.
  • Знание определений и простых основных формул. Умение использовать при решении задач.
  • Знание определения производной и дифференциала. Знание теорем о производной сложной функции и о производной обратной функции.
  • Знание основных теорем дифференциального исчисления: теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Умение использовать их при решении задач.
  • Знание строгого определения и свойств элементарных функций. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
  • Знание теорем о приведении диффеоморфизма к каноническому виду и о разложении в произведение простейших и их доказательств.
  • Знание условий сходимости двойных рядов и условий возможности перестановки сумм в повторных рядах.
  • Знание формулировки и доказательства одномерной теоремы о неявной функции.
  • Знание формулировок теорем о среднем для функций многих переменных и умение их применять при решении задач.
  • Знание, что такое определенный интеграл и когда он определен. Критерии интегрируемости.
  • Знание, что такое поверхность в конечномерном пространстве. Умение находить условный экстремум методом множителей Лагранжа.
  • Знать доказательство принципа сжимающих отображений, в том числе его параметрического варианта.
  • Исследование степенных рядов на сходимость и равномерную сходимость. Умение вычислять радиус сходимости.
  • Исследование функциональных рядов на сходимость и равномерную сходимость.
  • Исследование числовых и функциональных рядов на сходимость и равномерную сходимость.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знакомство с понятием компактности. Компактность множеств на числовой прямой.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание глобальных свойств функций, непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание свойств монотонных функций и непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение использовать признаки сходимости положительных рядов.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить пределы последовательностей.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить простейшие пределы функций.
  • Построение графиков функций и кривых на плоскости, в том числе заданных параметрически и неявно.
  • Разложение функций по формуле Тейлора, знание стандартных разложений.
  • Свободное решение задач на нахождение пределов, производных, нахождения экстремумов, монотонности и выпуклости функций.
  • Умение вычислять длину кривой, заданной параметрически.
  • Умение вычислять производные высших порядков по формуле Лейбница.
  • Умение доказывать сходимость и расходимость несобственных интегралов.
  • Умение использовать теоремы о среднем для интеграла Римана.
  • Умение исследовать интегралы, зависящие от параметров.
  • Умение находить интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита.
  • Умение находить критические точки и локальные экстремумы.
  • Умение находить локальные максимумы функций одного переменного.
  • Умение находить первообразные от стандартных функций.
  • Умение разлагать функцию многих переменных по формуле Тейлора.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Вещественные числа. Свойства подмножеств $\R$.
  • Предел последовательности. Подпоследовательности. Фундаментальные последовательности, критерий Коши. Монотонные последовательности.
  • Числовые ряды. Признаки сходимости рядов с положительными членами.
  • Компактность и секвенциальная компактность.
  • Предел функции. Непрерывные функции. Разрывы, классификация точек разрыва. Локальные свойства непрерывных функций.
  • Глобальные свойства непрерывных функций.
  • Монотонные функции.
  • Элементарные функции. Определения и свойства.
  • Производные. Дифференциал. Производная сложной функции, производная обратной функции.
  • Основные теоремы дифференциального исчисления.
  • Производные высших порядков. Формула Лейбница.
  • Формула Тейлора. Формулы для остаточного члена. Ряд Тейлора.
  • Выпуклые функции и их свойства.
  • Локальный экстремум.
  • Исследование графиков функций.
  • Неопределённый интеграл.
  • Функции многих переменных. Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцирование композиции отображений.
  • Неявная функция простейший случай.
  • Знакопеременные ряды. Произведение рядов.
  • Равномерная сходимость. Теорема Дини. Теорема о перестановке ряда и предела.
  • Степенные ряды.
  • Суммирование расходящихся рядов.
  • Двойные ряды. Бесконечные произведения. Формула для разложения синуса.
  • Интеграл Римана. Критерий интегрируемости Лебега. Интеграл, как функция верхнего предела.
  • Теоремы о среднем для интеграла Римана.
  • Длина кривой. Ориентация на гладкой кривой.
  • Несобственные интегралы.
  • Задача об интерполяции.
  • Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Перестановка интегралов, дифференцирование.
  • Гамма-функция. Бета-функция. Формула Стирлинга.
  • Дифференцируемость отображений из $\R^{m}$ в $\R^{n}$. Теоремы о среднем (для функций и для отображений).
  • Принцип сжимающих отображений.
  • Теорема о неявной функции.
  • Формула Тейлора для функций многих переменных.
  • Локальный экстремум. Критические точки.
  • Диффеоморфизмы. Приведение к каноническому виду, теорема о ранге. Разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
  • Лемма Морса.
  • Поверхность, задача об условном экстремуме. Метод множителей Лагранжа.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Листки
    Листки с задачами для самостоятельного решения. Задачи сдаются устно преподавателю или ассистенту.
  • неблокирующий Коллоквиум
    На очном коллоквиуме предлагаются два теоретических вопроса и задача. Если коллоквиум вынужденно проходит онлайн, он проводится в виде опроса по программе коллоквиума.
  • неблокирующий Контрольные работы
    Несколько контрольных работ.
  • неблокирующий Экзамен
    Устный экзамен.
  • неблокирующий Работа на семинарах
    Оценивается участие в обсуждении задач и решение задач у доски.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2022/2023 учебный год 2 модуль
    0.3 * Коллоквиум + 0.2 * Контрольные работы + 0.3 * Экзамен + 0.2 * Листки
  • 2022/2023 учебный год 4 модуль
    Оценка за весенний семестр вычисляется как сумма оценок за экзамен (0.25), коллоквиум (0.25), участие в семинарах (0.1), контрольные работы (0.3 в сумме) и оценки за листки (0.2) с указанными в скобках весами. Оценка округляется в сторону ближайшего целого числа, n + 0.5 округляется до n+1. Если полученная по этому правилу оценка больше 10, ставится 10. Оценка за листки считается как отношение числа сданных задач к числу листков. Пункты, обозначенные (a), (b), (c), учитываются как отдельные задачи, а пункты, обозначенные (i), (ii), (iii), — как части одной задачи. Если оценка по этой формуле больше 10, ставится 10, а превышение над 10 конвертируется в бонусные баллы, которые прибавляются к итоговой оценке с тем же весом, что оценка за листки.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Ильин, В. А.  Математический анализ в 2 ч. Часть 1 в 2 кн. Книга 1 : учебник для вузов / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. — 4-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 324 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-07067-5. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/452409 (дата обращения: 28.08.2023).
  • Математический анализ. Т. 1: ., Зорич, В. А., 2015

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Ильин, В. А.  Математический анализ в 2 ч. Часть 1 в 2 кн. Книга 2 : учебник для вузов / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. — 4-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 315 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-07069-9. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/452410 (дата обращения: 28.08.2023).
  • Ильин, В. А.  Математический анализ в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. — 3-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 324 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-09085-7. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/450170 (дата обращения: 28.08.2023).

Авторы

  • Шилин Иван Сергеевич
  • Медведев Владимир Олегович
  • Красносельский Александр Маркович
  • Богачев Владимир Игоревич