Математический анализ

Бакалавриат 2022/2023

Статус: Курс обязательный (Экономика и статистика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Каибханов Карахан Эйбханович, Лепский Александр Евгеньевич, Романов Игорь Викторович

Язык: русский

Кредиты: 15

Контактные часы: 190

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплины «Математический анализ» предназначена для студентов 1-го курса бакалавриата направление 38.03.01. Экономика, образовательная программа «Экономика и статистика». Формат изучения дисциплины - без использования онлайн курса. В курсе студенты познакомятся с базовыми знаниями теории пределов и непрерывных функций, дифференциального исчисления функций одной и многих переменных, основами неопределенного, определенного (в том числе кратного) и несобственного интегрирования, основами теории рядов. Материал иллюстрирован большим числом примеров анализа экономических систем. В связи с возможными карантинными мероприятиями и переходом на дистантное обучение занятия и аттестация могут происходить удаленно.

Цель освоения дисциплины

Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем математического анализа, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, использующих модели и методы многомерного математического анализа
Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции
Научить слушателей давать оценку предельного поведения различных функций
Продемонстрировать возможность исследования зависимости экстремумов от параметров
Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования
Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений

Планируемые результаты обучения

студент должен владеть информацией об условиях существования неявной ФМП, о матрице Якоби и якобиане.
студент должен владеть понятием непрерывной ФМП и знать основные свойства непрерывной ФМП - локальные и на компакте.
студент должен владеть понятиями открытого и замкнутого множества, выпуклого и связного множеств, ограниченного и неограниченного множеств, компактного множества.
студент должен знать графики основных элементарных функций, уметь их строить и преобразовывать
студент должен знать об области сходимости функционального ряда и уметь находить ее в простых случаях
студент должен знать понятие числового ряда, сходимости ряда; должен уметь исследовать ряд на сходимость в простых случаях.
студент должен иметь понятие об интегральной сумме и определенном интеграле, о формуле Ньютона-Лейбница, о геометрическом и усредняющем смысле определенного интеграла.
студент должен иметь представление о первообразной и уметь находить неопределенный интеграл в простых случаях
студент должен иметь представление об интегральной сумме и кратном интеграле, уметь вычислять его в простых случаях.
студент должен уметь вычислять частные производные и дифференциал ФМП, находить касательную плоскость к поверхности уровня, находить градиент и производную по направлению, знать содержательные свойства градиента.
студент должен уметь исследовать последовательность на монотонность и ограниченность, находить пределы последовательностей, точные грани множества значений последовательности
студент должен уметь исследовать ФМП на безусловный экстремум
студент должен уметь исследовать функцию на непрерывность и знать основные свойства непрерывных функций
студент должен уметь исследовать функцию с помощью производных и строить эскиз графика функции
студент должен уметь находить пределы функций, иметь понятие об эквивалентных функциях и асимптотических соотношениях между функциями; студент должен уметь находить асимптоты функций
студент должен уметь находить производную функции, касательную к графику функции, понимать содержательное значение производной
студент должен уметь находить разложение функции по формуле Тейлора
студент должен уметь решать задач на условный экстремум ФМП, находить наибольшее и наименьшее значения ФМП на компакте

Содержание учебной дисциплины

Тема 1.1. Множества и операции над ними
Тема 1.2. Функции
Тема 1.3. Последовательности и их предел
Тема 1.4. Предел Функции
Тема 1.5. Понятие непрерывной функции
Тема 1.6. Понятие производной функции и дифференциала
Тема 1.7. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Тейлора
Тема 1.8. Приложения дифференциального исчисления функций одной переменной
Тема 2.1. Множества и функции в n-мерном метрическом пространстве
Тема 2.2. Предел и непрерывность ФМП
Тема 2.3. Дифференцируемые ФМП
Тема 2.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков ФМП. Формула Тейлора.
Тема 2.5. Неявно заданные ФМП и отображения
Тема 2.7. Задача на условный экстремум
Тема 2.6. Выпуклые множества и ФМП в метрическом пространстве
Тема 3.1. Неопределенный интеграл
Тема 3.2. Определенный и несобственный интегралы
Тема 3.3. Кратные интегралы
Тема 4.1. Числовые ряды
Тема 4.2. Функциональные ряды

Элементы контроля

Контрольная работа №1
Темы: непрерывность и дифференцируемость функций одной переменной. Продолжительность: 60-80 мин. (уточняется перед кр) Формат: письменная кр Состав: 4-6 заданий (уточняется перед кр)
Контрольная работа №2
Темы: функции многих переменных Продолжительность: 60-80 мин. (уточняется перед кр) Формат: письменная кр Состав: 4-6 заданий (уточняется перед кр)
Контрольная работа №3
Темы: задачи на условный экстремум, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, неопределенный и определенный интегралы. Продолжительность: 60-80 мин. (уточняется перед кр) Формат: письменная кр Состав: 4-6 заданий (уточняется перед кр)
Контрольная работа №4
Темы: несобственные и кратные интегралы, числовые ряды. Продолжительность: 60-80 мин. (уточняется перед кр) Формат: письменная кр Состав: 4-6 заданий (уточняется перед кр)
Домашнее задание №1 "Исследование функций с помощью производных и построение графиков"
Домашнее задание №2: "Интегралы и ряды"
Экзамен 1-го семестра
Письменная работа из 6-ти заданий на 40-120 минут (зависит от количества за-чтенных задач и уточняется перед экзаменом).
Экзамен 2-го семестра
Письменная работа из 6-ти заданий на 40-120 минут (зависит от количества зачтенных задач и уточняется перед экзаменом).

Промежуточная аттестация

2022/2023 учебный год 2 модуль
На экзамене студент может набрать до 9 баллов включительно. Количество несданных задач домашнего задания пересчитывается в сумму баллов (правило пересчета объявляется в момент выдачи домашнего задания), которая вычитается из суммы набранных на экзамене условных единиц. Студенты, набравшие не менее 7 итоговых баллов (после округления), имеют право на получение 1-2 бонусных баллов (до 10-ти итоговых баллов) по результатам дополнительного собеседования (решения дополнительных задач повышенной сложности, доказательства математических теорем курса и пр.).
2022/2023 учебный год 4 модуль
В экзаменационной работе 6 заданий. По результатам двух контрольных работ студенту могут быть засчитаны от 0 до 4 заданий. Каждое задание экзамена оценивается в 1,5 балла. Часть этой оценки (какая именно – уточняется перед экзаменом) может выставляться за ответ на теоретическую часть задания (формулировки определений, утверждений, правила и т. д.), но при условии, что решена в основном практическая часть этого же задания. При онлайновой форме контроля преподаватель оставляет за собой право применить процедуру защиты некоторых работ. Таким образом, на экзамене студент может набрать до 9 баллов включительно. Количество несданных задач домашнего задания пересчитывается в сумму баллов (правило пересчета объявляется в момент выдачи домашнего задания), которая вычитается из суммы набранных на экзамене условных единиц. Студенты, набравшие не менее 7 итоговых баллов (после округления), имеют право на получение 1-2 бонусных баллов (до 10-ти итоговых баллов) по результатам дополнительного собеседования (решения дополнительных задач повышенной сложности, доказательства математических теорем курса и пр.).

Список литературы

Авторы

Лепский Александр Евгеньевич
Поляков Николай Львович

Программа дисциплины