Бакалавриат 2022/2023

Математический анализ 2

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: с онлайн-курсом

Онлайн-часы: 20

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Демешев Борис Борисович, Колесниченко Елена Юрьевна, Лукьяненко Никита Сергеевич, Платонова Ксения Сергеевна, Радомский Артем Олегович, Султанов Азат Русланович, Чанга Марис Евгеньевич

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 150

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина представляет из себя стандартный курс математического анализа 2-го года, ориентированный на студентов, специализирующихся в прикладной математике. Курс содержит числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Значимую часть курса занимают ряды Фурье и преобразование Фурье. Второй семестр посвящен условным экстремумам, подмногообразиям в вещественном векторном пространстве, а также основам векторного и комплексного анализа.

Цель освоения дисциплины

• Ознакомление студентов с теоретическими основами таких разделов математического анализа как теория рядов, кратное интегрирование, криволинейные и поверхностные интегралы, ряды и преобразование Фурье.
• Формирование практических навыков работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье
• Формирование умения решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска)
• Ознакомление студентов с начальными теоретическими основами комплексного анализа и умение применять методы комплексного анализа в задачах интегрирования
• Формирование навыков самостоятельной исследовательской работы в процессе решения нестандартных задач повышенной сложности

Планируемые результаты обучения

• Знать основные свойства преобразования Фурье и уметь вычислять прямое и обратное преобразования Фурье от заданной функции
• Знать основные системы координат (полярная, цилиндрическая, сферическая) и якобианы соответствующих замен координат
• Уметь исследовать на равномерную сходимость несобственные интегралы, зависящие от параметра
• Знание условий Коши-Римана и умение проверять функцию комплексного переменного на дифференцируемость
• Знать определение гладкого подмногообразия в R^n и его касательного пространства в точке
• Знать определение грассмановой алгебры и дифференциальной формы k-го порядка на пространстве R^n
• Знать основные свойства бета- и гамма-функции
• Знать способы вычисления стандартных несобственных интегралов: интеграл Эйлера-Пуассона (гауссов интеграл), интеграл Дирихле, интегралы Лапласа, формула Фруллани
• Знать формулировку общей формулы Стокса и ее маломерных следствий: формулы Грина, формулы Гаусса-Остроградского, формулы Стокса
• Знать формулировку общей формулы Стокса и ее маломерных следствий: формулы Грина, формулы Гаусса-Остроградского, формулы Стокса
• Уметь вычислять дифференциал от заданной дифференциальной k-формы, и значение дифференциальной 1-формы на заданном касательном векторе
• Уметь вычислять интегралы (от функции комплексного переменного) при помощи вычетов
• Уметь вычислять кратные интегралы сведением к повторным
• Уметь вычислять криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода
• Уметь вычислять поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода
• Уметь вычислять сложные кратные интегралы, пользуясь следствиями из формулы Стокса
• Уметь вычислять суммы рядов, используя ряды Фурье и равенство Парсеваля
• Уметь исследовать ряд на сходимость, абсолютную/условную сходимость
• Уметь находить локальный экстремум дифференцируемой функции нескольких переменных, используя необходимые и достаточные условия
• Уметь находить радиус сходимости степенного ряда
• Уметь находить условный экстремум функции, используя метод множителей Лагранжа. Уметь использовать достаточное условие второго порядка для касательного пространства
• Уметь раскладывать функцию в ряд Фурье на отрезке
• Уметь суммировать числовые ряды, переходя к функциональным рядам
• Уметь упрощать кратные интегралы переходом в более удобную систему координат

Содержание учебной дисциплины

• Числовые ряды и бесконечные произведения
• Функциональные последовательности и ряды
• Ряды Фурье
• Кратные интегралы
• Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра
• Преобразование Фурье
• Подмногообразия. Экстремумы. Метод множителей Лагранжа.
• Элементы векторного анализа и анализа дифференциальных форм
• Начала теории функций комплексного переменного

Элементы контроля

• Домашнее задание 1
• Коллоквиум 1
  Проходит в устной форме, студенту выдают билет с несколькими теоретическими вопросами, студенту дают 30-40 минут на подготовку, пользоваться какими-либо материалами запрещено. За ответ по билету студент может получить от 0 до 8 баллов. После ответа студенту дают доп.вопрос(ы) в виде теоретической задачи, за которую можно получить от 0 до 2 баллов. Тема: числовые и функциональные ряды
• Коллоквиум 2
  Проходит так же, как и коллоквиум 1. Тема: интеграл Римана и кратные интегралы
• Контрольная работа 1
• Экзамен 1
  Экзамен проходит в письменной форме в аудитории (дистанционно для студентов, официально проходящих курс онлайн), пользоваться какими-либо материалами запрещено, длится 120 минут. Всего 5 задач. Решение каждой задачи может быть оценено в 0, 1 или 2 балла.
• Домашнее задание 2
• Зачет 1
• Зачет 2
  Проходит в письменной форме на последнем семинаре модуля. Включает только теоретические вопросы и задания (формулировки и доказательства) по списку, формируемому лектором. Темы — пройденные в текущем модуле. Письменная работа рассчитана на весь семинар. Максимальная оценка — 10 баллов.
• Контрольная работа 2
  Проводится в начале 4-го модуля в письменном виде по темам 3-го модуля. Задачи вычислительного характера, по типам соответствуют материалам семинаров. Максимальная оценка — 10 баллов.
• Экзамен
  Экзамен проходит в письменной форме в аудитории (дистанционно для студентов, официально проходящих курс онлайн), пользоваться какими-либо материалами запрещено, длится 120 минут. Предлагается 5 задач вычислительного характера по материалам семинаров 3-го и 4-го модулей. Решение каждой задачи может быть оценено в 0, 1 или 2 балла.

Промежуточная аттестация

• 2022/2023 учебный год 2 модуль
  0.166 * Домашнее задание 1 + 0.25 * Экзамен 1 + 0.25 * Контрольная работа 1 + 0.168 * Коллоквиум 2 + 0.166 * Коллоквиум 1
• 2022/2023 учебный год 4 модуль
  0.168 * Зачет 2 + 0.25 * Экзамен + 0.166 * Зачет 1 + 0.166 * Домашнее задание 2 + 0.25 * Контрольная работа 2

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2003
• Сборник задач по математическому анализу. Т. 2: Интегралы. Ряды, , 2012

Рекомендуемая дополнительная литература

• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2 : учебник: в 3 т., Фихтенгольц, Г. М., 2009

Авторы

• Мажуга Андрей Михайлович
• Оруджева Альбина Александровна
• Айзенберг Антон Андреевич