Алгебра (углубленный курс)

Бакалавриат 2022/2023

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 1-й курс, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Аржанцев Иван Владимирович, Зайцева Юлия Ивановна, Калеева Галина Анатольевна, Максаев Артем Максимович, Перепечко Александр Юрьевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Цель курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первая половина лекций посвящена теории групп, вторая половина — кольцам и полям. Мы докажем базовые факты об этих структурах и продемонстрируем их возможные приложения. Сдавшие курс смогут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от одной или многих переменных однозначно раскладывается на простые множители и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.

Цель освоения дисциплины

Знать основные факты о таких алгебраических структурах, как группы, кольца и поля
Освоить алгоритмические аспекты современной алгебры
Уметь производить базовые вычисления с алгебраическими структурами, применять изученные факты и методы при решении прикладных задач

Планируемые результаты обучения

Изучить основные приложения изученного материала в криптографии и теории кодирования
Иметь навыки работы с конечными группами и конечными полями
Овладеть основными техническими приемами алгебры многочленов и теории абелевых групп

Содержание учебной дисциплины

Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и теорема Лагранжа. Индекс подгруппы.
Нормальные подгруппы, факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр- группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.
Решетки и дискретные подгруппы в евклидовом пространстве. Конечные абелевы группы. Строение конечно порожденных абелевых групп. Приложения к задачам криптографии.
Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Теорема Кэли. Классы сопряженности.
Кольца, алгебры и поля. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Алгебра матриц над полем является центральной простой алгеброй. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты.
Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов от многих переменных.
Конечно порожденные и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.
Элементарные симметрические многочлены. Лексикографический порядок. Основная теорема о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена. Понятие о базисе Грёбнера идеала.
Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность.
Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Подполя конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Приложение конечных полей в теории кодирования.

Элементы контроля

Домашнее задание
Состоит из 5 листков по 4 задачи в каждом по теме “Группы” и из 4 листков по 5 задач в каждом по теме “Кольца и поля”. На решение каждого из листков отводится одна неделя. Решения проверяют учебные ассистенты, результаты проверки размещаются на вики-странице. За решение каждой из задач можно получить от 0 до 1 баллов. Набранное число баллов умножается на 1/4.
Контрольная работа
Контрольная работа проводится письменно. Оценка за контрольную равна сумме баллов, полученных за каждую задачу. Разрешено использование непрограммируемых калькуляторов, использование других электронных устройств запрещено.
Экзамен
Экзамен проводится в устной форме, в аудитории или на платформе Zoom. Каждый студент получает билет, состоящий из нескольких вопросов по программе курса. После ответа на вопросы преподаватель может задать дополнительные вопросы по программе курса и предложить теоретические задачи.

Промежуточная аттестация

2022/2023 учебный год 4 модуль
0.5 * Экзамен + 0.2 * Контрольная работа + 0.3 * Домашнее задание

Список литературы

Авторы

Зайцева Юлия Ивановна
Аржанцев Иван Владимирович

Программа дисциплины