Компьютерный практикум по численным методам

Бакалавриат 2022/2023

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Кафедра прикладной математики и информатики (Нижний Новгород)

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Пеплин Федор Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 7

Контактные часы: 42

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс направлен на формирование у студентов практических навыков решения задач линейной алгебры и математического анализа с использованием инструментария численных методов. В качестве среды разработки выбрана экосистема языка Python.

Цель освоения дисциплины

Повторение, закрепление и расширение знаний по различным разделам курсов "Математический анализ" и "линейная алгебра".
Получение навыка численного решения задач указанных двух математических дисциплин в тех случаях, когда аналитическое решение отсутствует или затруднительно.
Получить представление о том, как абстрактные математические понятия используются для решения реальных задач.
Подготовка к освоению дисциплин, посвященных анализу данных.

Планируемые результаты обучения

Формулировать сущность и различия двух основных способов представления действительных чисел в памяти компьютера: с фиксированной точкой и с плавающей точкой
Оценивать погрешность основных операций при использовании чисел с плавающей точкой различного размера
Называть причины потери значащих цифр (loss of significance)
Оценивать устойчивость работы алгоритма
Конструировать алгоритмы, устойчивые к накоплению погрешности
Формулировать алгоритм Кахана
Формулировать постановку задачи интерполяции
Записывать вид многочлена Ньютона
Записывать вид многочлена Лагранжа
Реализовывать многочлены Ньютона и Лагранжа в виде программного кода
Называть определения сплайна, дефекта, степени и гладкости сплайна
Строить многочлены Лежандра как результат применения процедуры Грама-Шмидта к наивному полиномиальному базису
Находить аппроксимацию функции в виде ряда функций Лагранжа
Аппроксимировать функции методом наименьших квадратов
Называть основные методы численного дифференцирования, сравнивать их между собой
Оценивать погрешность численного дифференцирования
Реализовывать алгоритмы численного дифференцирования в виде программного кода
Формулировать формул Ньютона-Котеса
Реализовывать методы трапеций, прямоугольников, Симпсона в виде программного кода
Оценивать погрешности квадратурных формул
Формулировать квадратурные формулы наивысшей степени точности
Вычислять кратные интегралы
Реализовывать методы дихотомии, простой итерации, Ньютона и установления в виде программного кода для решения прикладных задач
Вычислять произведения векторов и матриц
Осуществлять быстрое умножение разреженных матриц на векторы
Находить нормы векторов и матриц
Нахождение собственных чисел матрицы с помощью кругов Гершгорина, QR-алгоритма и степенного метода
Приводить квадратичную форму к диагональному виду
Проверять квадратичную форму на положительную определенность/неопределенность
Применять прямые и итерационные методы решения СЛАУ
Формулировать сингулярное разложение матрицы
Находить сингулярные разложения матрицы
Вычислять малоранговые приближения матриц
Применять малоранговые приближения матриц к практическим задачам
Интерполировать двумерные данные в виде сплайнов

Содержание учебной дисциплины

Представление действительных чисел в памяти компьютера
Интерполирование и аппроксимация функций
Численное дифференцирование и интегрирование
Решение нелинейных алгебраических уравнений и их систем
Векторы и матрицы
Собственные числа матрицы
Квадратичные формы
Системы линейных уравнений

Элементы контроля

Представление действительных чисел в памяти компьютера
Сплайны
При выполнении лабораторной работы студенты должны будут разработать программу, осуществляющую интерполяцию данных с помощью кубического сплайна дефекта 1. Также студентам нужно будет найти точку пересечения сплайнов и, если сплайны не пересекаются, то минимальное расстояние между ними.
Интерполяция и аппроксимация
Численное дифференцирование и интегрирование
Векторы и матрицы
Системы линейных и нелинейных алгебраических уравнений
Квадратичные формы
Собственные векторы и значения
Сингулярное разложение матрицы и его приложения
Решение систем уравнений (моделирование динамики пневмооболочки)
Моделирование динамики пневмооболочки с использованием нелинейных алгебраических уравнений
Численное интегрирование
Собственные числа (QR-алгоритм)
Итоговый тест

Промежуточная аттестация

2022/2023 учебный год 4 модуль
0.1 * Сплайны + 0.037 * Системы линейных и нелинейных алгебраических уравнений + 0.037 * Численное дифференцирование и интегрирование + 0.1 * Решение систем уравнений (моделирование динамики пневмооболочки) + 0.037 * Представление действительных чисел в памяти компьютера + 0.037 * Векторы и матрицы + 0.037 * Собственные векторы и значения + 0.304 * Итоговый тест + 0.037 * Интерполяция и аппроксимация + 0.1 * Собственные числа (QR-алгоритм) + 0.037 * Сингулярное разложение матрицы и его приложения + 0.1 * Численное интегрирование + 0.037 * Квадратичные формы

Список литературы

Авторы

Пеплин Федор Сергеевич

Программа дисциплины