Научно-исследовательский семинар "Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений"

2022/2023

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Ильяшенко Юлий Сергеевич, Шилин Иван Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 72

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Приложения дифференциальных уравнений: движение планет и возникновение миражей. Связь со спектральной теорией: Уравнения с частными производными как линейные уравнения в бесконечномерном пространстве; Задача Штурма-Лиувилля; Функции Бесселя. Продолжение общей теории дифференциальных уравнений: Теорема о неустойчивости; Теорема Гробмана -- Хартмана; Особые точки на плоскости. Элементы теории динамических систем: Подкова Смейла; Структурная устойчивость; Бифуркации

Цель освоения дисциплины

Освоение важного радела на границе анализа и физики, имеющего большое естественно-научное значение

Планируемые результаты обучения

Студент умеет формулировать и доказывать теорему Гробмана-Хартмана.
Студент умет выводить уравнение хода лучей из непрерывной версии закона Снеллиуса; умеет рисовать эскизы траекторий лучей по данному графику зависимости показателя преломления от вертикальной координаты.
Студент умеет выводить законы Кеплера из уравнения движения, применять метод эффективной потенциальной энергии, рисовать фазовые портреты для уравнения Ньютона на прямой.
Студент умеет выводить уравнения Эйлера-Лагранжа и доказывать теорему Нётер.
Студент умеет решать линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка.
Студент умеет определять тип особой точки и владеет методом разрешения особенностей.
Студент умеет вычислять коммутатор векторных полей и проверять, задают ли они интегрируемое поле плоскостей.
Студент владеет базовыми понятиями символической и гиперболической динамики.
Студент может сформулировать критерий структурной устойчивости Андронова-Понтрягина и умеет доказывать его необходимость.
Студент может дать определения глобальных и локальных семейств векторных полей, бифуркаций, бифуркационных диаграмм, умеет описывать бифуркации Андронова-Хопфа и седлоузла.

Содержание учебной дисциплины

Дифференциальные уравнения на прямой и ход лучей в среде с переменным показателем преломления
Законы Кеплера
Интегралы вариационных задач и теорема Нетер.
Теория Штурма. Задача Штурма-Лиувилля.
Шарик в чашке. Фигуры Лиссажу.
Уравнения с частными производными
Уравнение теплопроводности и волновое уравнение на окружности.
Собственные функции оператора Лапласа. Функции Бесселя.
Теорема о неустойчивости
Теорема Гробмана-Хартмана
Особые точки на плоскости
Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными
Теория Фробениуса
Подкова Смейла
Структурная устойчивость
Бифуркации

Элементы контроля

Посещаемость
Коллоквиум
Коллоквиум проводится после 3-го модуля. Студентам предлагаются теоретические вопросы и задачи.
Контрольная
Контрольная работа из теоретических вопросов и задач.
Активность на лекциях
Оценивается активность студентов на лекциях.
Работа на семинарах
Оценивается работа студентов на семинаре -- решение задач у доски.

Промежуточная аттестация

2022/2023 учебный год 4 модуль
0.2 * Коллоквиум + 0.1 * Активность на лекциях + 0.3 * Посещаемость + 0.1 * Работа на семинарах + 0.3 * Контрольная

Программа дисциплины