2022/2023

Научно-исследовательский семинар "Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений"

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Ильяшенко Юлий Сергеевич, Шилин Иван Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 72

Программа дисциплины

Аннотация

Приложения дифференциальных уравнений: движение планет и возникновение миражей. Связь со спектральной теорией: Уравнения с частными производными как линейные уравнения в бесконечномерном пространстве; Задача Штурма-Лиувилля; Функции Бесселя. Продолжение общей теории дифференциальных уравнений: Теорема о неустойчивости; Теорема Гробмана -- Хартмана; Особые точки на плоскости. Элементы теории динамических систем: Подкова Смейла; Структурная устойчивость; Бифуркации

Цель освоения дисциплины

• Освоение важного радела на границе анализа и физики, имеющего большое естественно-научное значение

Планируемые результаты обучения

• Студент умеет формулировать и доказывать теорему Гробмана-Хартмана.
• Студент умет выводить уравнение хода лучей из непрерывной версии закона Снеллиуса; умеет рисовать эскизы траекторий лучей по данному графику зависимости показателя преломления от вертикальной координаты.
• Студент умеет выводить законы Кеплера из уравнения движения, применять метод эффективной потенциальной энергии, рисовать фазовые портреты для уравнения Ньютона на прямой.
• Студент умеет выводить уравнения Эйлера-Лагранжа и доказывать теорему Нётер.
• Студент умеет решать линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка.
• Студент умеет определять тип особой точки и владеет методом разрешения особенностей.
• Студент умеет вычислять коммутатор векторных полей и проверять, задают ли они интегрируемое поле плоскостей.
• Студент владеет базовыми понятиями символической и гиперболической динамики.
• Студент может сформулировать критерий структурной устойчивости Андронова-Понтрягина и умеет доказывать его необходимость.
• Студент может дать определения глобальных и локальных семейств векторных полей, бифуркаций, бифуркационных диаграмм, умеет описывать бифуркации Андронова-Хопфа и седлоузла.

Содержание учебной дисциплины

• Дифференциальные уравнения на прямой и ход лучей в среде с переменным показателем преломления
• Законы Кеплера
• Интегралы вариационных задач и теорема Нетер.
• Теория Штурма. Задача Штурма-Лиувилля.
• Шарик в чашке. Фигуры Лиссажу.
• Уравнения с частными производными
• Уравнение теплопроводности и волновое уравнение на окружности.
• Собственные функции оператора Лапласа. Функции Бесселя.
• Теорема о неустойчивости
• Теорема Гробмана-Хартмана
• Особые точки на плоскости
• Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными
• Теория Фробениуса
• Подкова Смейла
• Структурная устойчивость
• Бифуркации

Элементы контроля

• Посещаемость
• Коллоквиум
  Коллоквиум проводится после 3-го модуля. Студентам предлагаются теоретические вопросы и задачи.
• Контрольная
  Контрольная работа из теоретических вопросов и задач.
• Активность на лекциях
  Оценивается активность студентов на лекциях.
• Работа на семинарах
  Оценивается работа студентов на семинаре -- решение задач у доски.

Промежуточная аттестация

• 2022/2023 учебный год 4 модуль
  0.2 * Коллоквиум + 0.1 * Активность на лекциях + 0.3 * Посещаемость + 0.1 * Работа на семинарах + 0.3 * Контрольная

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения : учебник / В. И. Арнольд. — Москва : МЦНМО, 2012. — 341 с. — ISBN 978-5-4439-2007-8. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56392 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Рекомендуемая дополнительная литература

• Арнольд, В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений : учебное пособие / В. И. Арнольд. — 4-е, изд. — Москва : МЦНМО, 2012. — 384 с. — ISBN 978-5-4439-2069-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56388 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Ильяшенко, Ю. С. Нелокальные бифуркации / Ю. С. Ильяшенко, В. Ли. — Москва : МЦНМО, 2016. — 413 с. — ISBN 978-5-4439-2322-2. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/80116 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Ильяшенко, Ю. С. Эволюционные процессы и философия общности положения : учебное пособие / Ю. С. Ильяшенко. — Москва : МЦНМО, 2007. — 32 с. — ISBN 978-5-94057-353-1. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9348 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Математические методы классической механики : учеб. пособие для ун-тов, Арнольд, В. И., 1979

Авторы

• Шилин Иван Сергеевич
• Ильяшенко Юлий Сергеевич