2022/2023

Торическая геометрия и топология

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Панов Тарас Евгеньевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 64

Программа дисциплины

Аннотация

Теория торических многообразий в алгебраической геометрии, или торическая геометрия, устанавливает взаимно однозначное соответствие между комплексными алгебраическими многообразиями с действием комплексного тора, имеющим плотную (открытую по Зарисскому) орбиту, икомбинаторными объектами, называемыми веерами. При помощи вееров алгебро-геометрические свойства торических многообразий полностью переводятся на язык комбинаторики. Пространство орбит не особого проективного торического многообразия по действию компактного тора представляет собой выпуклый простой многогранник. Двойственный многогранник является симплициальным, а его граница является симплициальным комплексом. В симплектической геометрии, после появления теоремы Атьи – Гиёмина – Стернберга о выпуклости образа отображения моментов и формулы Дуистермаата – Хекмана в начале 1980-х годов, активно изучались гамильтоновы действия групп. В работе Дельзанта было показано, что в случае действия тора размерности, равной половине размерности многообразия, образ отображения моментов определяет многообразие с точностью до эквивариантного симплектоморфизма. В симплектической геометрии, как и в торической геометрии, различные геометрические конструкции имеют комбинаторную интерпретацию в терминах многогранников. Имеется тесная взаимосвязь между алгебраическими и симплектическими многообразиями с действием тора: проективное вложение неособого торического многообразия определяет симплектическую форму и отображение моментов. Образом отображения моментов является многогранник, двойственный к вееру. Факторпространство многообразия по такому действию тора представляет собой многообразие с углами, которое несёт комбинаторную структуру, отражающую структуру частично упорядоченного множества стационарных подгрупп. Это позволяет полностью восстановить многообразие и действие. Замечательно, что такой подход работает и в обратном направлении: в терминах топологических инвариантов пространства сдействием тора удаётся интерпретировать и доказывать весьма тонкие комбинаторные результаты топологически. Оказалось, что данная специфика алгебраических торических многообразий имеет чистотопологическую природу, что вызвало глубокое проникновение идей и методов торической и симплектической геометрии в алгебраическую топологию с начала 1990-х годов и предопределило возникновение новой области исследований - торической топологии.В торической топологии исследуются свойства топологических пространств с богатой группой симметрий. Эта область возникла 25 лет назад и стала быстро развиваться благодаря глубокому взаимопроникновению методов теории гомотопий и теории кобордизмов, алгебраической геометрии, комбинаторики, коммутативной и гомологической алгебры, симплектической геометрии и теории интегрируемых систем. Предварительная подготовка: базовые понятия коммутативной алгебры, дифференциальной геометрии и алгебраической топологии.