Магистратура
2022/2023
Анализ нелинейных и многофазных процессов
Статус:
Курс обязательный (Системный анализ и математические технологии)
Направление:
01.04.02. Прикладная математика и информатика
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
1-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Данилов Владимир Григорьевич
Прогр. обучения:
Системный анализ и математические технологии
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
80
Программа дисциплины
Аннотация
Методы анализа линейных систем развиты досконально. Но нелинейные системы, где нет обычного принципа суперпозиции, это, в общем случае, при наличии дисперсии почти непреодолимая задача для математики. Только для некоторых специальных однородных (с постоянными коэффициентами) нелинейных задач метод аналитического решения был недавно, в конце XX века, открыт и это вызвало огромный бум в математической теории. Но в присутствии неоднородности (переменных коэффициентов) и этот метод не работает. Незнание законов суперпозиции серьезно затрудняет математическое моделирование тех нелинейных процессов, в которых существенную роль играет распространение и взаимодействие волн. Таких процессов очень много, например, возникновение и перемещение границы раздела фаз “твердое вещество” – “жидкость”, динамика популяций, распространение импульсов по нервным волокнам, образование пробок в дорожном движении и т.д. Для задач такого типа, уже совсем недавно, в последние два десятилетия, был разработан метод «слабых асимптотик». Оказалось, что при наличии в нелинейной системе малых параметров удается, хоть и асимптотически по этим параметрам, но зато вполне конструктивно находить законы нелинейной суперпозиции и эффективно исследовать математические модели указанных выше и других нелинейных волновых процессов, в том числе, в неоднородных средах. Это продвигает возможности математического моделирования нелинейных систем на качественно новый уровень, а совместно с применением компьютерных расчетов создает прорыв в большом числе старых и трудных проблем, важных для развития новых технологий. В данном курсе на максимально простом уровне обсуждаются перечисленные явления, излагаются основные идеи и алгоритмы новых, конструктивных методов математического моделирования нелинейных процессов.
Цель освоения дисциплины
- освоение основных нелинейных эволюционных моделей математической физики, понятия обобщенного решения, метода характеристик и его обобщения
- знание свойств, присущие решениям нелинейных уравнений (нелинейные эффекты), метода обратной задачи рассеяния, метода слабых асимптотик (с точки зрения техники вычислений и алгебры), метода регуляризации
- умение исследовать уравнения с частными производными первого порядка, построение решения уравнения неразрывности вразрывном поле скоростей, описание распространения и взаимодействия уединенных нелинейных волн в различных задачах типа уравнений Бюргерса, Хопфа, системы фазового поля и ее аналогов; умение с помощью метода обобщенных характеристик строить решения прямой и обратной задачи Коши для параболического уравнения Колмогорова-Феллера глобально по времени.
- умение исследовать уравнения с частными производными первого порядка, построение решения уравнения неразрывности вразрывном поле скоростей, описание распространения и взаимодействия уединенных нелинейных волн в различных задачах типа уравнений Бюргерса, Хопфа, системы фазового поля и ее аналогов; умение с помощью метода обобщенных характеристик строить решения прямой и обратной задачи Коши для параболического уравнения Колмогорова-Феллера глобально по времени
Планируемые результаты обучения
- уметь строить и оценивать формализованные математические модели, оценивать данные, выявлять закономерности в них, визуализировать результаты анализа данных
- владеть математическим аппаратом анализа данных и принятия решений
- знать основные математические модели и методы анализа данных
Содержание учебной дисциплины
- Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка («скалярные законы сохранения»)
- Метод слабых асимптотик
- Система фазового поля и задача Стефана –Гиббса-Томсона
- Параболические псевдодифференциальные уравнения с малым параметром
Промежуточная аттестация
- 2022/2023 учебный год 4 модуль0.15 * Контрольная работа + 0.15 * Домашняя работа + 0.7 * Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Dafermos, Constantine. Hyberbolic Conservation Laws in Continuum Physics / Constantine Dafermos. –Springer, 2005
- G. B. Whitham. (1999). Linear and Nonlinear Waves. Wiley-Interscience.
- Gel, fand, I. M., & Shilov, G. E. (2016). Generalized Functions, Volume 1 : Properties and Operations. AMS.
- V. P. Maslov, & G. A. Omel’yanov. (2018). Geometric Asymptotics for Nonlinear PDE. I. AMS.
- Vladimir Danilov, Roman Gaydukov, & Vadim Kretov. (2020). Mathematical Modeling of Emission in Small-Size Cathode. Springer.
Рекомендуемая дополнительная литература
- M. V. Karasev. (2016). Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems. AMS.
- Линейные и нелинейные волны, Уизем, Дж., 1977
- Обобщенные функции и действия над ними, Гельфанд, И. М., 2007