Бакалавриат 2023/2024

Дифференциальные уравнения

Статус: Курс по выбору (Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Отдел сопровождения учебного процесса в бакалавриате

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 4-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Шапошников Станислав Валерьевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 64

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина "Дифференциальные уравнения" обеспечивает подготовку слушателей по одной из фундаментальных математических дисциплин, являющейся мощным орудием исследования многих задач естествознания и экономических дисциплин.

Цель освоения дисциплины

• Целью освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения» познакомить студентов с широким кругом идей и методов решения и анализа дифференциальных уравнений.

Планируемые результаты обучения

• Владеет навыками анализа естественнонаучных задач с помощью дифференциальных уравнений
• Владеет навыками численного решения дифференциальных уравнений
• Знает доказательства основных теорем теории дифференциальных уравнений
• Знает определения основных понятий теории дифференциальных уравнений
• Знает примеры приложения теории дифференциальных уравнений к экономическим и естественнонаучным задачам
• Может исследовать качественные свойства дифференциальных уравнений
• Может решать основные типы дифференциальных уравнений
• Может строить фазовые портреты дифференциальных уравнений

Содержание учебной дисциплины

• Понятие дифференциального уравнения.
• Простейшие примеры дифференциальных уравнений в размерности 1.
• Многомерные фазовые пространства.
• Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (без доказательства).
• Уравнения в полных дифференциалах.
• Консервативные системы с одной степенью свободы
• Линейные уравнения в размерности 1 с переменными коэффициентами.
• Линейные системы с постоянными коэффициентами в произвольной размерности. Общие свойства.
• Классификация особых точек системы линейных уравнений с двумя переменными.
• Матричная экспонента.
• Линеаризация нелинейных систем вблизи особых точек.
• Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Теорема об устойчивости по первому приближению (без доказательства).
• Мягкие и жесткие модели. Структурная устойчивость. Понятие о бифуркациях. Примеры: седлоузловая бифуркация, бифуркация Андронова — Хопфа.
• Предельные циклы. Отображение Пуанкаре. Устойчивость предельных циклов. 16-проблема Гильберта (формулировка).
• Дифференциальные уравнения на двумерном торе. Плотная обмотка тора.

Элементы контроля

• Самостоятельные
• Мидтерм
  Мидтерм проводится в письменной форме в течение 80-120 минут. В ходе выполнения работы допускается использование простых калькуляторов (не позволяющих строить графики функций) и листа A4, на котором студент может заранее собственноручно сделать любые необходимые ему для выполнения работы записи (формулы, определения и т.д.) Оценка за мидтерм выставляется по 100-бальной шкале. Переписывание мидтерма не допускается, за исключением случаев пропуска по уважительной причине, подтверждённой документально.
• Финальная контрольная
• Домашние задания

Промежуточная аттестация

• 2023/2024 учебный год 4 модуль
  0.25 * Домашние задания + 0.25 * Мидтерм + 0.25 * Самостоятельные + 0.25 * Финальная контрольная

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Высшая математика : интегралы по мере, дифференциальные уравнения, ряды, Виленкин, И. В., 2011
• Дифференциальные уравнения : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

• Дифференциальные уравнения : учебник для вузов, Тихонов, А. Н., 2002

Авторы

• Антонова Екатерина Сергеевна
• Петрова Наталья Борисовна