Теория вероятностей и статистика

Бакалавриат 2023/2024

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Мировая экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент прикладной экономики

Где читается: Факультет мировой экономики и мировой политики

Когда читается: 2-й курс, 1-3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Гергенретер Анастасия Олеговна, Погорелова Полина Вячеславовна, Потанин Богдан Станиславович

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 96

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

В рамках данного курса студенты изучают основные определения, концепции и теоремы теории вероятностей и математической статистики, а также учатся решать задачи с использованием соответствующего инструментария. Полученные знания могут быть применены для освоения различных дисциплин, связанных с анализом данных, включая эконометрику и машинное обучение.

Цель освоения дисциплины

Сформировать у студентов представления о базовых понятиях, теоремах и концепциях теории вероятностей и математической статистики
Научить участников курса использовать понятия, концепции и теоремы теории вероятностей и математической статистики для решения теоретических и прикладных задач
Ознакомить обучающихся с основными сферами приложения теории вероятностей и статистики
Обучить студентов использовать и строить статистические и вероятностные модели, а также применять их для анализа данных
Подготовить студентов к изучению курсов, связанных с анализом данных, включая эконометрику и машинное обучение

Планируемые результаты обучения

Обучающийся знает основные характеристики и свойства хи-квадрат распределения, распределения Стьюдента и распределения Фишера
Обучающийся может применять формулу объединения событий и формулу вероятности обратного события для решения задач
Обучающийся способен построить функцию распределения и функцию плотности для непрерывной случайной величины, а также пользоваться свойствами соответствующих функций
Обучающийся способен применять закон больших чисел для решения задач
Обучающийся способен применять классические тесты о математическом ожидании, дисперсии, доле (вероятности), разнице математических ожиданий и разнице долей (вероятностей).
Обучающийся способен решать задачи на распределение порядковых статистик и выборочной функции распределения
Обучающийся способен решать задачи на сходимость по распределению
Обучающийся способен решать задачи, требующие найти распределение статистической оценки
Обучающийся способен сформулировать свойства функции вероятностей и функции распределения дискретной случайной величины
Обучающийся умеет задавать и применять совместное распределения непрерывных случайных величин (в том числе условное)
Обучающийся умеет использовать следующие формулы для решения задач: формула пересечения событий, формула полной вероятности, формула условной вероятности и формула Байеса.
Обучающийся умеет применять неравенство Маркова и неравенство Чебышева для решения задач
Обучающийся умеет проверять независимость дискретных случайных величин
Обучающийся умеет решать задачи на доверительные интервалы, в частности, на построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии в случае выборки из нормального распределения с одним известным параметром.
Обучающийся умеет строить неравенство Рао-Крамера и делать вывод об асимптотической эффективности оценок
Студент может сформулировать и применять основные свойства нормального распределения
Студент может сформулировать определение доверительного интервала.
Студент может сформулировать основные свойства функции вероятностей
Студент может сформулировать следующие понятия: условная вероятность, полная группа событий, попарная несовместность событий, независимость событий (попарная и в совокупности).
Студент можешь найти распределение (в том числе асимптотическое) некоторых выборочных моментов
Студент способен найти маржинальное распределения непрерывной случайной величины и его характеристики
Студент способен описать параметры и сформулировать основные характеристики (моменты, функция вероятностей, функция распределения и носитель) распределения Бернулли, Биномиального распределения, распределения Пуассона, геометрического распределения и мультиномиального распределения, а также применять изученные ранее формулы для дискретных случайных величин в отношении соответствующих распределений
Студент способен проверять свойства оценок: несмещенность, состоятельность и эффективность
Студент способен решать задачи на распределение дискретных случайных величин
Студент способен совершать базовые операции над событиями, такие как пересечение, объединение и вычитание
Студент способен сформулировать определение дискретной случайной величины, а также ее распределения (в том числе условного), функции вероятностей, функции распределения и носителя
Студент способен сформулировать основные понятия теории вероятностей, такие как случайный эксперимент, пространство элементарных событий (для случая счетного числа элементарных исходов), пространство событий, случайное событие, достоверное событие, невозможное событие, несовместные события, обратное событие, функция вероятности
Студент умеет задавать распределение (в том числе условное) дискретной случайной величины при помощи функции вероятностей и таблицы, а также строить функцию распределения
Студент умеет задавать совместное распределение (в том числе условное) дискретных случайных величин при помощи совместной функции вероятностей и таблицы, а также считать с его помощью вероятности и ковариацию
Студент умеет находить и оценивать информацию Фишера и с ее помощью вычислять и оценивать асимптотическую дисперсию оценок метода максимального правдоподобия
Студент умеет оценивать параметры распределения и функции от этих параметров с помощью метода максимального правдоподобия, а также пользоваться основными свойствами оценок данного метода
Студент умеет применять метод моментов для получения статистических оценок, а также пользоваться свойствами оценок метода моментов
Студент умеет применять тест отношения правдоподобия, тест множителей Лагранжа и тест Вальда
Студент умеет решать задачи на построение асимптотических доверительных интервалов и может сформулировать их отличие от обычных доверительных интервалов
Студент умеет решать задачи на сходимость по вероятности и брать предел по вероятности
Студент умеет считать вероятности и моменты (в том числе условные) для непрерывных случайных величин
Студент умеет считать ковариацию между непрерывными случайными величинами
Студент умеет считать условные и безусловные моменты для дискретных случайных величин и функций от них (в том числе математическое ожидание и дисперсию), а также применять соответствующие навыки для решения задач
Студент умеет, исходя из контекста задачи, формулировать нулевую и альтернативную гипотезы, выбирать статистический тест, позволяющий протестировать соответствующие гипотезы, вычислить уровень значимости и мощность данного теста, а также делать вывод о наличии статистических свидетельств в пользу той или иной гипотезы.
Студент умеет, с использованием выборки, строить вариационный ряд, выводить выборочную функцию распределения и гистограмму, а также находить экстремальные статистики
Участник курса может задать распределение (в том числе условное) функции от дискретной случайной величины
Участник курса умеет искать вероятность события исходя из вероятностей соответствующих ему элементарных исходов
Участник курса умеет находить маржинальное распределение дискретной случайной величины
Участник курса умеет находиться и использовать распределение функции от непрерывной случайной величины
Участник курса умеет применять критерий хи-квадрат Фишера (о распределении и о независимости) и критерий Колмогорова
Участник курса умеет применять центральную предельную теорему для решения задач
Участник курса умеет строить асимптотические доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии, доли, разницы математических ожиданий, разницы долей и отношений дисперсий, а также для параметров, оцененных при помощи метода максимального правдоподобия.
Участник курса умеет строить совместную функцию распределения и совместную функцию плотности (в том числе условные) непрерывных случайных величин, а также использовать свойства соответствующих функций

Содержание учебной дисциплины

Дискретное вероятностное пространство
Условная вероятность
Дискретные случайные величины
Моменты дискретных случайных величин
Совместное распределение дискретных случайных величин
Основные дискретные распределения
Непрерывные случайные величины
Нормальное распределение
Совместное распределение непрерывных случайных величин
Неравенство Маркова и неравенство Чебышева
Сходимость по вероятности и закон больших чисел
Сходимость по распределению и центральная предельная теорема. Дельта-метод.
Выборка и ее основные характеристики
Статистические оценки и их свойства
Метод моментов
Метод максимального правдоподобия
Неравенство Рао–Крамера и информация Фишера
Хи-квадрат распределение, распределение Стьюдента и распределение Фишера
Доверительные интервалы
Асимптотические доверительные интервалы
Проверка статистических гипотез
Проверка гипотез о математическом ожидании, дисперсии и доле
Проверка гипотез о распределении
Тест отношения правдоподобия, тест множителей Лагранжа и тест Вальда

Элементы контроля

Домашнее задание 1
Домашнее задание 2
Домашнее задание 3
Контрольная работа
Экзамен 1
Экзамен 2

Промежуточная аттестация

2023/2024 учебный год 1 модуль
0.2 * Домашнее задание 1 + 0.8 * Экзамен 1
2023/2024 учебный год 3 модуль
0.125 * Домашнее задание 2 + 0.125 * Домашнее задание 3 + 0.25 * Контрольная работа + 0.5 * Экзамен 2

Список литературы

Авторы

Потанин Богдан Станиславович
Шведов Алексей Сергеевич
Погорелова Полина Вячеславовна

Программа дисциплины