Бакалавриат
2023/2024
Функциональный анализ
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)
Направление:
01.03.02. Прикладная математика и информатика
Где читается:
Факультет компьютерных наук
Когда читается:
2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
80
Программа дисциплины
Аннотация
Функциональный анализ широко применяется во многих областях математики, включая дифференциальные и интегральные уравнения, теорию вероятностей, математическую физику и пр. На курсе будут изложены основы функционального анализа, а, точнее говоря, теории нормированных пространств. Помимо стандартного набора тем, присутствующего в подавляющем большинстве курсов функционального анализа, будет изложена теория полугрупп операторов с применениями к эволюционным дифференциальным уравнениям и случайным процессам.
Цель освоения дисциплины
- Уметь определять свойства линейных операторов, в т.ч. ограниченность, замкнутость, симметричность.
- Уметь применять методы теории Фредгольма к интегральным уравнениям
- Уметь применять методы теории полугрупп к дифференциальным уравнениям
Планируемые результаты обучения
- Введение в спектральную теорию операторов: вопросы разрешимости абстрактных уравнений, допускающих линейное толкования, вопросы устойчивости и аппроксимации решений.
- Непрерывные операторы и функционалы в локально-выпуклых (полинормированных) пространствах. Введение в теорию обобщенных функций.
- Преобразование Фурье и свертка в нормированных и полинормированных пространствах. Приложения к обработке изображений и звука.
- Абстрактный подход к теории самосопряженных операторов.
- Знать основы теории метрических пространств
- Знать основы теории нормированных пространств
- Уметь применять методы функционального анализа в практических задачах
Содержание учебной дисциплины
- Метрические пространства. Свойства полных метрических пространств (принцип сжимающих отображений, теорема о замкнутых шарах, теорема Бэра).
- Нормированные и банаховы пространства. Теорема о пополнении метрического пространства.
- Евклидовы пространства. Тождество параллелограмма. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортогональной проекции и ортогонального дополнения в гильбертовом пространстве.
- Ортонормированные системы. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Полные и замкнутые системы. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.
- Компактные и предкомпактные множества в метрических пространствах. Критерий Хаусдорфа. Лемма о почти перпендикуляре. Некомпактность единичного шара в бесконечномерном нормированном пространстве.
- Критерий предкомпактности множества в пространствах lp. Критерий предкомпактности множества в пространстве C[a,b].
- Линейные операторы и линейные функционалы. Норма оператора. Непрерывные операторы. Пространство линейных ограниченных операторов.
- Теорема Хана-Банаха и следствия из нее.
- Теоремы об общем виде линейных непрерывных функционалов в пространствах c0, lp, Lp[0;1].
- Теорема об общем виде линейного непрерывного функционала в C[a;b]. Теорема Рисса об общем виде функционала на гильбертовом пространстве.
- Слабая и *-слабая сходимости. Сходимости в B(X,Y).
- Сопряжённые операторы в банаховых и гильбертовых пространствах. Самосопряженные операторы. Ортогональные проекторы. Теорема Банаха--Штейнгауза. Слабо ограниченные множества.
- Компактные операторы. Свойства компактных операторов.
- Обратные операторы. Теорема Банаха об обратном операторе (без доказательства). Устойчивость обратимости операторов при малых возмущениях.
- Спектр ограниченного оператора в банаховом пространстве. Классификация и основные свойства.
- Теорема Гильберта--Шмидта (для сепарабельных гильбертовых пространств).
- Теория Фредгольма. Спектр компактного оператора.
- Полинормированные пространства. Пространства основных функций D, S, E. Сходимости и полунормы в них.
- Обобщеные функции и операции с ними.
- Преобразование Фурье.
Промежуточная аттестация
- 2023/2024 учебный год 4 модульИтог = Округление(0,7*Накоп + 0,3*Экз) Накоп=0,15*(БДЗ+Сем)+0,15*(Кр1+Кр2+Кр3)+0,2*(Коллок1+Коллок2), где БДЗ=среднее за большие домашние задания, СЕМ может равняться 0,1 или 2 и выставляется на усмотрение семинариста.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Задачи по функциональному анализу, [учебное пособие], МГУ им. М. В. Ломоносова, мех.-мат. фак., нов. изд., 334 с., Бородин, П. А., Савчук, А. М., Шейпак, И. А., 2017
- Хелемский, A. Я. Лекции по функциональному анализу : учебник / A. Я. Хелемский. — 2-е изд. — Москва : МЦНМО, 2014. — 560 с. — ISBN 978-5-4439-2043-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56415 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
Рекомендуемая дополнительная литература
- Функциональный анализ, Канторович, Л. В., 1984