• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2023/2024

Функциональный анализ

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика
Когда читается: 2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Преподаватели: Красовицкий Тихон Ильич, Султанов Азат Русланович, Шейпак Игорь Анатольевич
Язык: русский
Кредиты: 6
Контактные часы: 80

Программа дисциплины

Аннотация

Студенты ознакомятся с базовым курсом функционального анализа, в котором ознакомятся с бесконечномерными топологическими линейными пространствами и отображениями в них. Важными частным случаями являются нормированные, банаховы и гильбертовы пространства. Также будет рассказано о приложениях функционального анализа к теории дифференциальных уравнений, математической физике, квантовой механике, машинного обучения и в других областях.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомиться с общими основами теории метрических и нормированных пространств.
  • Узнать важность банаховых и гильбертовых пространств как с точки зрения фундаментального подхода, так и с точки зрения приложений.
  • Введение в теорию ограниченных операторов и функционалов в банаховых пространствах. Знакомство с теорией гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром (приложения к машинному обучению).
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Введение в спектральную теорию операторов: вопросы разрешимости абстрактных уравнений, допускающих линейное толкования, вопросы устойчивости и аппроксимации решений.
  • Непрерывные операторы и функционалы в локально-выпуклых (полинормированных) пространствах. Введение в теорию обобщенных функций.
  • Преобразование Фурье и свертка в нормированных и полинормированных пространствах. Приложения к обработке изображений и звука.
  • Абстрактный подход к теории самосопряженных операторов.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Метрические пространства. Свойства полных метрических пространств (принцип сжимающих отображений, теорема о замкнутых шарах, теорема Бэра).
  • Нормированные и банаховы пространства. Теорема о пополнении метрического пространства.
  • Евклидовы пространства. Тождество параллелограмма. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортогональной проекции и ортогонального дополнения в гильбертовом пространстве.
  • Ортонормированные системы. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Полные и замкнутые системы. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.
  • Компактные и предкомпактные множества в метрических пространствах. Критерий Хаусдорфа. Лемма о почти перпендикуляре. Некомпактность единичного шара в бесконечномерном нормированном пространстве.
  • Критерий предкомпактности множества в пространствах lp. Критерий предкомпактности множества в пространстве C[a,b].
  • Линейные операторы и линейные функционалы. Норма оператора. Непрерывные операторы. Пространство линейных ограниченных операторов.
  • Теорема Хана-Банаха и следствия из нее.
  • Теоремы об общем виде линейных непрерывных функционалов в пространствах c0, lp, Lp[0;1].
  • Теорема об общем виде линейного непрерывного функционала в C[a;b]. Теорема Рисса об общем виде функционала на гильбертовом пространстве.
  • Слабая и *-слабая сходимости. Сходимости в B(X,Y).
  • Сопряжённые операторы в банаховых и гильбертовых пространствах. Самосопряженные операторы. Ортогональные проекторы. Теорема Банаха--Штейнгауза. Слабо ограниченные множества.
  • Компактные операторы. Свойства компактных операторов.
  • Обратные операторы. Теорема Банаха об обратном операторе (без доказательства). Устойчивость обратимости операторов при малых возмущениях.
  • Спектр ограниченного оператора в банаховом пространстве. Классификация и основные свойства.
  • Теорема Гильберта--Шмидта (для сепарабельных гильбертовых пространств).
  • Теория Фредгольма. Спектр компактного оператора.
  • Полинормированные пространства. Пространства основных функций D, S, E. Сходимости и полунормы в них.
  • Обобщеные функции и операции с ними.
  • Преобразование Фурье.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание
  • неблокирующий Бонусы
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Коллоквиум
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2023/2024 учебный год 4 модуль
    Итог = Округление(0,7*Накоп + 0,3*Экз) Накоп=0,15*(БДЗ+Сем)+0,15*(Кр1+Кр2+Кр3)+0,2*(Коллок1+Коллок2), где БДЗ=среднее за большие домашние задания, СЕМ может равняться 0,1 или 2 и выставляется на усмотрение семинариста.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Задачи по функциональному анализу, [учебное пособие], МГУ им. М. В. Ломоносова, мех.-мат. фак., нов. изд., 334 с., Бородин, П. А., Савчук, А. М., Шейпак, И. А., 2017
  • Хелемский, A. Я. Лекции по функциональному анализу : учебник / A. Я. Хелемский. — 2-е изд. — Москва : МЦНМО, 2014. — 560 с. — ISBN 978-5-4439-2043-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56415 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Функциональный анализ, Канторович, Л. В., 1984

Авторы

  • Самоненко Илья Юрьевич