Дифференциальная геометрия и топология

Бакалавриат 2023/2024

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс по выбору (Физика)

Направление: 03.03.02. Физика

Кто читает: Департамент физики

Где читается: Санкт-Петербургская школа физико-математических и компьютерных наук

Когда читается: 3-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Храбров Александр Игоревич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 68

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина направлена на изучение вопросов, связанных с качественными свойствами и различиями объектов, рассматриваемых в геометрии, анализе, математической физике, теории дифференциальных уравнений и других математических и физических дисциплинах. Для освоения дисциплины требуются основы математического анализа многих переменных, алгебры и теории групп.

Цель освоения дисциплины

Формирование у студентов знаний, связанных с качественными свойствами и различиями объектов, рассматриваемых в геометрии, анализе, математической физике, теории дифференциальных уравнений и других математических и физических дисциплинах.

Планируемые результаты обучения

Владеет понятием о главном расслоении над гладким многообразием, дает определение функций перехода на главном расслоении, сечений главного расслоения, фундаментального векторного поля на главном расслоении.
Дает определение гладкого многообразия, гладкого отображения между многообразиями. Знает понятия функции, векторного поля и дифференциальной формы на гладком многообразии, поведения этих объектах при гладких отображениях.
Знает определение и дает примеры групп Ли, левоинвариантных векторных полей и левоинвариантных дифференциальной форм на группе Ли, владеет понятием о дифференциальных формах со значениями в алгебре Ли.
Знает определение связности, формы связности и локальной формы связности на главном расслоении. Умеет осуществлять преобразование локальной формы связности при смене локальной тривиализации.
Знает определение топологического пространства, непрерывного отображения между топологическими пространствами, базы топологии, декартова произведения топологических пространств.
Знает понятие ассоциированных расслоений, сечений ассоциированных расслоений и ковариантная производная сечения, доказывать инвариантность ковариантной производной.
Знает понятие псевдотензориальные формы, ковариантного дифференциала и формы кривизны, умеет формулировать и доказывать тождество Бьянки.
Умеет описывать производное представление алгебры ЛИ

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Топологические пространства
Тема 2. Гладкое многообразие
Тема 3. Группы Ли
Тема 4. Главное расслоение
Тема 5. Связность
Тема 6. Псевдотензориальные формы
Тема 7. Производное представление алгебры Ли
Тема 8. Ассоциированные расслоения

Элементы контроля

Письменный экзамен
Экзамен проводится в письменной форме. Экзаменационный билет содержит три вопроса из разных разделов курса. На подготовку ответа выделяется 2,5 часа.
Аудиторная работа
В ходе работы на практических занятиях студенты должны продемонстрировать полученные знания, умение пользоваться специальной терминологией, а также навыки работы с различными видами литературы и источников.

Промежуточная аттестация

2023/2024 учебный год 4 модуль
0.5 * Аудиторная работа + 0.5 * Письменный экзамен

Список литературы

Авторы

Жукова Алена Михайловна

Программа дисциплины