Бакалавриат
2023/2024
Математический анализ
Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Кафедра фундаментальной математики
Когда читается:
2-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
12
Контактные часы:
196
Программа дисциплины
Аннотация
Математический анализ занимает основополагающую позицию в образовании студентов специальности «Математика», давая язык, логику и понятия, необходимые для овладения большинством математических дисциплин, таких как дифференциальные и интегральные уравнения, функциональный анализ, теория функций действительных переменных, теория функций комплексных переменных, вычислительные методы, дифференциальная геометрия, топология, теория вероятностей и других
Цель освоения дисциплины
- Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются углубленное изучение основных понятий математического анализа (предельный переход, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), овладение методами математического анализа функций одной и нескольких вещественных переменных (построение графиков, нахождение локальных и глобальных экстремумов функций), применение полученных знаний к анализу различных математических моделей.
Планируемые результаты обучения
- Знать аксиоматическое определение поля вещественных чисел. Знать графики основных элементарных функций: прямая, парабола, кубическая парабола, окружность, гипербола, показательная и логарифмическая функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их свойства.
- Знать определение и методы вычисления несобственного интеграла. Уметь применять признаки сходимости несобственных интегралов. Владеть знанием основных свойств гамма-функции и бета-функции и применять их для вычисления определённых интегралов.
- Знать определение предела последовательности, основные свойства пределов, замечательные пределы. Знать определение предела функции, уметь графически его интерпретировать. Уметь вычислять пределы функций, исследовать функцию на непрерывность.
- Знать определения предела, непрерывности, дифференцируемости функции многих переменных. Уметь вычислять частные производные, а также по направлению; строить касательную плоскость и нормаль к поверхности.Уметь находить экстремум функции нескольких переменных, её наибольшее и наименьшее значения. Владеть техникой нахождения условного экстремума.
- Знать правила вычисления и таблицу интегралов. Уметь выбрать подходящий способ для вычисления интеграла функции. Владеть основными методами вычисления интегралов: замена переменной, интегрирование по частям, вычисление интеграла от рациональной функции. Знать замены, приводящие к интегралу от рациональной функции. Уметь вычислять с помощью определённого интеграла площадь плоской фигуры, длину дуги, объём и площадь поверхности тела вращения.
- Знать признаки сходимости числовых рядов. Уметь находить радиус и интервал сходимости степенного ряда; область сходимости функционального ряда. Владеть техникой разложения функций в ряд Тейлора.
- Знать таблицу производных и правила их вычисления. Владеть техникой вычисления производной функции заданной явно, неявно, параметрически. Уметь использовать правило Лопиталя для вычисления пределов.Знать разложения основных элементарных функций по формуле Маклорена. Уметь провести исследование функции с помощью производной и построить её график. Уметь находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- Студент умеет интегрировать и дифференцировать несобственные интегралы, зависящие от параметра. Вычисляет эти интегралы по формуле Фруллани, с помощью сведения к интегралам Пуассона, Дирихле, Лапласа
- Студент умеет исследовать на непрерывность и дифференцируемость собственные интегралы, зависящие от параметра, а также вычисляет их с помощью интегрирования и дифференцирования.
- Студент умеет исследовать несобственные интегралы на равномерную сходимость и определяет возможность интегрирования и дифференцирования функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра.
- Студент умеет исследовать последовательности на равномерную сходимости и умеет пользователься свойствами равномерно сходящихся последовательностей.
- Студент умеет получать образ Фурье данной функции и строит обратное преобразование Фурье
- Студент умеет раскладывать в степенной ряд функции с помощью интегрирования и дифференцирования, а также умеет применять технику интегрирования и дифференцирования для нахождения суммы ряда
- Студент умеет раскладывать функции в тригонометрический ряд Фурье
- Уметь вычислять определенные интегралы от скалярных и векторных полей, криволинейные интегралы первого и второго рода. Уметь вычислять двойные и тройные интегралы. Знать формулу Грина. Уметь вычислять поверхностные интегралы первого и второго рода. Знать формулу Остроградского-Гаусса, формулу Стокса. Владеть понятиями: поток вектора через поверхность, ротор, циркуляция векторного поля. Знать классификацию векторных полей.
- Уметь вычислять определенные интегралы от скалярных и векторных полей, криволинейные интегралы первого и второго рода. Уметь вычислять двойные и тройные интегралы. Знать формулу Грина. Уметь вычислять поверхностные интегралы первого и второго рода. Знать формулу Остроградского-Гаусса, формулу Стокса. Владеть понятиями: поток вектора через поверхность, ротор, циркуляция векторного поля. Знать классификацию векторных полей.
- Уметь дифференцировать и интегрировать собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Уметь исследовать на равномерную сходимость несобственные интегралы, зависящие от параметра. Знать интеграл Фурье и преобразование Фурье.
- Уметь применять ряды Тейлора для приближенных вычислений значений функций, интегралов, для решения дифференциальных уравнений. Уметь раскладывать в ряд Фурье четные, нечетные, функций общего вида.
Содержание учебной дисциплины
- Введение в анализ
- Пределы последовательности и функции. Непрерывность функции
- Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций многих переменных
- Ряды
- Несобственные интегралы и интегралы с параметром
- Функциональные ряды. Ряды Фурье.
- Дифференцирование и интегрирование интегралов по параметру. Интеграл Фурье и преобразование Фурье.
- Теория поля
- Признаки сходимости числовых рядов
- Равномерная сходимость функциональных последовательностей
- Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов
- Тригонометрические ряды Фурье
- Собственные интегралы, зависящие от параметра.
- Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра.
- Вычисление несобственных интегралов, зависящих от параметра.
- Преобразование Фурье.
Элементы контроля
- Контрольная работа
- Коллоквиум
- Контрольная работа
- Контрольная работа
- Коллоквиум
- Контрольная работа
- Контрольная работа
- Коллоквиум
- Контрольная работа
- Контрольная работа
- Контрольная работа
- Устный опрос
- Устный опрос
- Устный опрос
- Устный опрос
Промежуточная аттестация
- 2022/2023 учебный год 2 модуль0.3 * Коллоквиум + 0.2 * Контрольная работа + 0.2 * Контрольная работа + 0.3 * Устный опрос
- 2022/2023 учебный год 4 модуль0.3 * Коллоквиум + 0.2 * Контрольная работа + 0.2 * Контрольная работа + 0.3 * Устный опрос
- 2023/2024 учебный год 2 модуль0.3 * Коллоквиум + 0.2 * Контрольная работа + 0.2 * Контрольная работа + 0.3 * Устный опрос
- 2023/2024 учебный год 4 модуль0.2 * Контрольная работа + 0.2 * Контрольная работа + 0.6 * Устный опрос
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Максимова, О. Д. Математический анализ в примерах и задачах. Предел функции : учебное пособие для вузов / О. Д. Максимова. — 2-е изд., стер. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 200 с. — (Университеты России). — ISBN 978-5-534-07222-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/442137 (дата обращения: 28.08.2023).
- Максимова, О. Д. Математический анализ в примерах и задачах. Предел числовой последовательности : учебное пособие для вузов / О. Д. Максимова. — 2-е изд., стер. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 177 с. — (Университеты России). — ISBN 978-5-534-07208-2. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/442138 (дата обращения: 28.08.2023).
- Математический анализ в вопросах и задачах, учебное пособие, под ред. В. Ф. Бутузова, 5-е изд., испр., 480 с., Бутузов, В. Ф., Крутицкая, Н. Ч., Медведев, Г. Н., Шишкин, А. А., 2002
- Математический анализ, учебник, Ч. 1, 7-е изд., новое доп., XII, 564 с., Зорич, В. А., 2015
- Математический анализ. Вещественные числа и последовательности : учебное пособие для среднего профессионального образования / И. В. Садовничая, Т. Н. Фоменко, Е. В. Хорошилова, В. А. Ильин ; под общей редакцией В. А. Ильина. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 109 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-08472-6. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/441194 (дата обращения: 28.08.2023).
- Садовничая, И. В. Математический анализ: определенный интеграл в 2 ч. Часть 2 : учебное пособие для среднего профессионального образования / И. В. Садовничая, Е. В. Хорошилова. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 199 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-06836-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/441163 (дата обращения: 28.08.2023).
- Садовничая, И. В. Математический анализ. Предел и непрерывность функции одной переменной : учебное пособие для академического бакалавриата / И. В. Садовничая, Т. Н. Фоменко ; под общей редакцией В. А. Ильина. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 115 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-08473-3. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/441132 (дата обращения: 28.08.2023).
- Садовничая, И. В. Математический анализ. Функции многих переменных : учебник и практикум для академического бакалавриата / И. В. Садовничая, Т. Н. Фоменко. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 206 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-06584-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/438941 (дата обращения: 28.08.2023).
- Хорошилова, Е. В. Математический анализ: неопределенный интеграл : учебное пособие для среднего профессионального образования / Е. В. Хорошилова. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 187 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-06949-5. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/441157 (дата обращения: 28.08.2023).
Рекомендуемая дополнительная литература
- Капкаева, Л. С. Математический анализ: теория пределов, дифференциальное исчисление : учебное пособие для вузов / Л. С. Капкаева. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 246 с. — (Университеты России). — ISBN 978-5-534-04898-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/438965 (дата обращения: 28.08.2023).
- Никитин, А. А. Математический анализ. Углубленный курс : учебник и практикум для академического бакалавриата / А. А. Никитин, В. В. Фомичев. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 460 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-00464-9. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/432899 (дата обращения: 28.08.2023).
- Потапов, А. П. Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной в 2 ч. Часть 1 : учебник и практикум для академического бакалавриата / А. П. Потапов. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 256 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-04680-9. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/433687 (дата обращения: 28.08.2023).
- Садовничая, И. В. Математический анализ. Дифференцирование функций одной переменной : учебное пособие для среднего профессионального образования / И. В. Садовничая, Т. Н. Фоменко, Е. В. Хорошилова. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 156 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-06596-1. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/441179 (дата обращения: 28.08.2023).