Введение в нелинейную динамику

2023/2024

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 3 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Синельщиков Дмитрий Игоревич, Станкевич Наталия Владимировна

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 40

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

В курсе рассматриваются основы как качественной, так и аналитической теории динамических систем. В первой части курса предполагается рассмотреть одномерные динамические системы с дискетным временем или одномерные отображения и одномерные, двумерные и трехмерные динамические системы. На примере данных систем будут обсуждаться основы теории бифуркаций динамических систем, понятие динамического хаоса и ряд сценариев перехода от регулярной к хаотической динамике. Также будет введено понятие устойчивости по Ляпунову траектории динамической системы и методы численной оценки показателей Ляпунова для отображений и динамических систем. Предполагается рассмотреть и исследовать с помощью обсуждаемых подходов несколько математических моделей, используемых для описания процессов и явлений в биологии, механике, химии и других разделах науки. В рамках второй части курса предполагается рассмотреть основные аспекты, связанные с интегрируемостью динамических систем. Предполагается обсудить алгебраические и аналитические подходы и кратко остановится на понятии интегрируемой Гамильтоновой системы. Будут обсуждаться понятия первого интеграла, интегрирующего множителя и множителя Якоби, алгебраическая интегрируемость, представление Лакса. В рамках аналитического подхода будет рассмотрен метод Пенлеве. Предполагается иллюстрировать рассматриваемые методы на динамических системах, имеющих приложения в различных разделах науки.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с основными понятиями и методами качественной и аналитической теорий нелинейных динамических систем
Ознакомление студентов с основными понятиями и методами качественной и аналитической теорий нелинейных динамических систем.
Ознакомление студентов с применением качественных и аналитических подходов для исследования динамических систем, встречающихся в различных приложениях.
Формирования у студентов навыков использования современного программного обеспечения при решении прикладных задач методами качественной и аналитической теории динамических систем.

Планируемые результаты обучения

Студент должен знать основные понятия и методы аналитической теории динамических систем.
Студент должен знать: основные методы и подходы качественной теории динамических систем.
Студент должен иметь навыки использования методов аналитической теории динамических систем для решения прикладных задач.
Студент должен иметь навыки использования методов качественно теории динамических систем для решения прикладных задач.
Студент должен уметь: использовать определения первого интеграла, интегрирующего множителя и множителя Якоби для их поиска; проверять выполнение необходимых условий теста на свойство Пенлеве.
Студент должен уметь: проводить классификацию неподвижных точек динамической системы; строить фазовые портреты, сечения Пуанкаре и бифуркационные диаграммы для динамической системы.