2023/2024

Элементы стохастической динамики

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Ильин Антон Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 72

Программа дисциплины

Аннотация

Стохастические динамические системы возникают в самых разных областях — от теоретической физики и астрофизики до экономики и финансовой математики. Изложение будет вестись на относительно элементарном языке корреляционных функций и их производящих функционалов, что позволит в дальнейшем плавно перейти к изучению технически более сложных конструкций квантовой теории поля, статистической физики, финансовой математики и пр. Мы начинём с обсуждения непрерывных случайных величин, плотности вероятности, статистических моментов, характеристических функций и связных моментов (куммулянтов) случайных векторов, которые позволяют легко и изящно изложить закон больших чисел, ЦПТ и принципы больших отклонений, а также будут использоваться в дальнейшем на курсах квантовой теории поля и статистической физики. Случайная функция (случайный процесс, случайное поле) вводится как естественное обобщение случайного вектора на бесконечномерный случай. Изложение также ведется на языке корреляционных функций и куммулянтов. Мы обсудим корреляционное время, корреляционный масштаб, дельта-процессы, Пуассоновский и Гауссовский случайные процессы, теорему Вика, принципы расщепления корреляций, закон больших чисел и ЦПТ для случайных процессов с конечным корреляционным временем. Далее рассматриваются простейшие линейные стохастические дифференциальные уравнения с аддитивным шумом (диффузия) и мультипликативным шумом (системы с перемежаемостью). Такие уравнения встречаются во многих областях теоретической физики, экономики и финансовой математики, и составляют базу для интуитивного понимания процессов в более сложных нелинейных стохастических системах. В качестве интересного примера, обсуждается парадоксальное поведение статистических моментов в системах с мультипликативным шумом и поясняется значение редких «катастрофических» событий для жизни таких систем. В заключении курса рассматривается технически довольно сложная, но чрезвычайно красивая теория континуальных произведений случайных матриц. Эти произведения естественным образом возникают при решении линейных матричных стохастических уравнений с мультипликативным шумом и используются в теории турбулентного транспорта, гидродинамике, экономике и разных других областях.