Научно-исследовательский семинар "Проективная алгебраическая геометрия 2"

2023/2024

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Артамкин Игорь Вадимович, Тихомиров Александр Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 36

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра и магистра направления подготовки «Математика». Это вторая группа тем. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: • базовые курсы алгебры, геометрии и топологии (1 и 2 годы бакалавриата); Желательно, но не необходимо также знакомство с некоторыми основными понятиями и результатами из курсов: • дифференциальная геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата); • алгебраическая геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата); Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: • свободное владение основными понятиями алгебры, геометрии и топологии • дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: • Алгебраическая геометрия • Топология • Дифференциальная геометрия • Математическая физика (теория поля).

Цель освоения дисциплины

Формирование и развитие у слушателей геометрических представлений при освоении различных разделов алгебраической геометрии.
Овладение слушателями основными понятиями и конструкциями проективной геометрии, такими как линейные проекции и сечения, проективные и перспективные отображения.
Освоение техники линейных рядов при изучении отображений многообразий в проективное пространство.
Знакомство с классическими проективными многообрзазиями, такими как детерминантали, грассманианы, многообразия Веронезе, многообразия Сегре, норммногообразия, и методами их построения средствами проективной геометрии.

Планируемые результаты обучения

Студент должен научиться использовать при решении конкретных задач индексы пересечения кривых на плоскости, их вычисление посредствомм правил Цейтена.
Студент должен научиться использовать при решении конкретных задач линейных сечений и проекций, многообразий хорд и линейных оболочек .
Студент должен научиться использовать при решении конкретных задач полярное отображение, гессианы и их применение к описанию отображений гиперповерхностей в двойственное проективное пространство.
Студент должен научиться использовать при решении конкретных задач проективную геометрию детерминанталей, грассманианов, многообразий Веронезе и Сегре, норммногообразий и их проекций и сечений .
Студент должен научиться использовать при решении конкретных задач язык проективных вложений и отображений, линейных рядов и их базисных множеств.

Содержание учебной дисциплины

Полярное отображение, особенности двойственной проективной кривой, формулы Плюккера для кривой с простейшими особенностями, применение гессиана кривой к исследованию ее свойств, доказательство принципа двойственности.
Общие свойства линейных рядов. Примеры линейных рядов на плоскости: отображение плоскости линейными рядами кубик, поверхности дель Пеццо, исследование конфигураций прямых на поверхностях дель Пеццо через базисные точки линейных рядов, аналог конструкции Штейнера для кубических поверхностей.
Применение линейных рядов к описанию раздутий плоскости в конечном множестве точек; примеры: поверхности дель Пеццо
Общие, симметрические и антисимметрические детерминантали в проективном пространстве, многообразия Веронезе как симметрические детерминантали минимального ранга, многообразия Сегре как общие детерминантали минимального ранга , проективная конструкция многообразий Сегре, детерминантали высших рангов как многообразия хорд, норммногообразия, их проективная конструкция, гиперквадрики.
Грассманианы как антисимметрические детерминантали минимального ранга, плюккерово вложение, внутренняя геометрия грассманианов: прямые на грассманианах как базы пучков линейных подпространств, многообразия флагов как графики инциденции.
Пространственные конфигурации прямых: четверки прямых на квадрике, системы прямых на кубических поверхностях, ассоциированные пятерки прямых в четырехмерном проективном пространстве.

Элементы контроля

Домашнее задание
Контрольная работа

Промежуточная аттестация

2023/2024 4th module
Накопленная оценка есть среднее арифметическое двух оценок за активность в 3 и 4 модулях, округление в пользу студента. Оценка за активность выставляются с учетом выступлений на семинаре, решения домашних задачи, участия в обсуждении. Для тех, у кого накопленная оценка не менее 6, она совпадает с итоговой. Для тех, у кого накопленная оценка F получается меньше 6, итоговая оценка равна оценке E за заключительную очную контрольную работу, которая будет проводиться в конце семестра только для этой категории слушателей. Оценка E за контрольную находится по формуле: E= MIN(6,F/2 + 6.(число решенных задач в контрольной / общее число задач в контрольной)). Таким образом, максимальная оценка E за контрольную 6 баллов. Итоговый экзамен не планируется.

Список литературы

Авторы

Тихомиров Александр Сергеевич
Смольникова Татьяна Анатольевна
Артамкин Игорь Вадимович

Программа дисциплины